1.2. Классификация задач оптимизации

1.2.1. Задача безусловной оптимизации

Задача (1) называется задачей безусловной оптимизации, если ХЕ_п , т.е. если она имеет вид f (x) min , xE_n (E_n – евклидово п – мерное пространство).

Теория необходимых и достаточных условий оптимальности в задачах безусловной излагается в курсе математического анализа.

Пусть f (x^*) = - вектор первых частных производных (градиент) функции f в точке х^*Е_п.

f (x^*) = i,j =1,…,n - матрица вторых частных производных (гессиан) функции f в точке х^*Е_п.

Теорема 1(необходимое условие локальной оптимальности)

Пусть функция f дифференцируема в точке х^*Е_п. Если х^* локальное решение задачи f (x)min , xE_n, то f (x) = 0. (5)

Теорема 2. Пусть функция f дифференцируема в точке х^*Е_п. Если х^* -локальное решение задачи (5), то матрица f (x) – неотрицательна определенная.

Теорема 3(достаточное условие оптимальности).

Пусть функция f дважды дифференцируема в точке х^*Е_п. f (x) = 0, а матрица f (x^*) положительно определена. Тогда точка х^* есть точка локального минимума.

Пример 1. Решить задачу f (x) = x₁³ + x₂³ – 3x₁x₂ min , xR_n.

□ 1) Находим частные производные функции и решаем систему уравнений

Х¹ = (0,0), Х² = (1,1) – критические

точки.

2) Находим

Записываем матрицу f (x) =

а) f (X¹) = не является знакоопределенной, поэтому точка (0,0) не является точкой экстремума.

б) f (X²) = , ₁ = 6 0, ₂ =27 0. Матрица положительно определенная, поэтому Х₂ = (1,1) - точка минимума, строгое локальное решение.

1.2.2 Задача условной оптимизации

Задача (5) называется задачей условной оптимизации, если Х – собственное подмножеством пространства Е_п. Модель такой задачи имеет вид

f (x)min (max), xU (UE_n), где допустимое множество U не совпадает со всем пространством Е_п.

1.2.3. Задача математического программирования

Важный класс задач условных задач оптимизации составляют задачи математического программирования. Эта задача имеет вид

f(x)  min (1)

q_i (x) 0, i= 1,…,k, (2)

q_i (x)= 0, i= k+1,…,m (3)

При этом условия типа q_i(x) 0 называются ограничениями-неравенствами, условия (3) – ограничения-равенства.

Частными видами задачи математического программирования являются:

1) ЗЛП- задача линейного программирования. Все функции f,q_i – линейные, а все переменные x_j удовлетворяют условию неотрицательности, т.е. x_j0;

2) ЗНП – задача нелинейного программирования, хотя бы одна из функций f,q_i нелинейная;

3) ЗВП – задача выпуклого программирования, если функции f,q_i – выпуклые, допустимое множество U также выпуклое;

4) ЗДО - задача дискретной оптимизации, если на все или некоторые переменные x_j наложены условия целочисленности. Частный случай ЗЦП – задача целочисленного программирования;

5) перечислим еще ряд задач: задача динамического, стохастического, параметрического программирования.