Лекция 1
Тема 1 : «Математическое моделирование в оптимизации»
1.1. Введение
Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди многих вариантов приходится отыскивать наилучший . Оптимизация – это выбор наилучшего решения среди возможных альтернатив. Математическая теория оптимизации использует фундаментальные результаты и численные методы, позволяющие находить наилучший вариант из множества возможных альтернатив без полного перебора и сравнения.
Формирование курса «Теория оптимизации» как самостоятельной научной дисциплины относится к периоду 40-ых и 50-ых годов ХХ столетия. Важный вклад внесли английские и американские видные ученые (Дж.Данциг, К.Эрроу, Р.Беллман, Р.Гомори и др.) . Среди русских ученых следует отметить Л.В.Конторовича, Е.С.Вентцель, Н.Н.Моисеева. Конторович Л.В. еще в 1949 году опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства». В 1975 году он стал лауреатом Нобелевской премии за свои работы по оптимальному использованию ресурсов в экономике. В зарубежной литературе отправной точкой в исследовании методов оптимизации считается работа ДЖ.Данцига, опубликованная в 1947 году и посвященная решению линейных экстремальных задач.
1.1.Постановка задачи оптимизации
Сама по себе постановка задачи оптимизации проста и естественна. Заданы: множество Х и функция f (x), определенная на множестве Х. Требуется найти точки минимума или максимума функции f (x) на Х. Символически записывается в виде:
f(x) min, x X , (1)
f (x) max, x X (2)
Функцию f (x) будем называть целевой функцией, Х – Допустимым множеством, любой элемент хХ – допустимой точкой задач (1), (2).
Необходимо подчеркнуть, что само понятие точки минимума (максимума) неоднозначно и требует уточнения.
Точка х* Х называется:
1) точкой глобального минимума (максимума) функции f на множестве Х или глобальным решением задач (1),(2), если
f (x*) f (x) (f (x*)f (x) ) при всех хХ ; (3)
2) точкой локального минимума (максимума) f на Х, или локальным решением задач (1), (2), если существует число 0, такое, что
f
(x*)
f
(x)
(f
(x*)
f
(x)
) при всех х
X
U(x*)
(4)
где U
(X*)
= {xRn/||x-x*||
} – шар
радиуса
с центром х*.
Если неравенства (3), (4) выполняются как строгие при х х* , то говорят, что х* точка строгого минимума (максимума) в глобальном или локальном смысле.
Вполне очевидно, что глобальное решение является и локальным, но обратное неверно. Решения задач (1),(2) называют также точками экстремума, а сами задачи экстремальными.
Очевидно, что задача (2) эквивалентна задаче
- f (x) min , x X,
в том смысле, множество глобальных и локальных, строгих или нестрогих решений этих задач соответственно совпадает. Это позволяет переносить результаты, полученные для задачи минимизации, на задачи максимизации , и наоборот.
При изучении задач оптимизации возникает вопрос о существовании решения. Напомним в этой связи важный результат из математического анализа.
Теорема (Вейерштрасса). Пусть Х – компакт (замкнутое ограниченное множество), f- непрерывная функция на Х. Тогда точка глобального минимума (максимума) функции f (х) на Х (глобальное решение) существует.