
- •Розрахунково-графічні та контрольні завдання Динаміка точки
- •1.1 Приклад виконання завдання
- •Динаміка системи
- •2.1 Приклад виконання завдання
- •3.1 Приклад виконання завдання
- •Приклад виконання завдання
- •5.1 Приклад виконання завдання
- •Диференціальне рівняння (5.1), враховуючи (5.2) набуває вигляду
- •Із (5.6) та (5.7) визначаємо кутову швидкість тіла 3
- •Оскільки (5.10)
- •6.1 Приклад виконання завдання
- •6.1.1 Визначення зусиль в пасах та між тілами
- •6.1.2 Визначення реакції циліндричних шарнірів
- •Принцип д’Аламбера д.7 Застосування принципу д’Аламбера для визначення реакції в’язей
- •7.1 Приклад виконання завдання
- •8.1 Приклад виконання завдання
- •Принцип Лагранжа д. 9 Визначення реакцій в’язей врівноваженого плоского механізму за допомогою принципу віртуальних переміщень
- •9.1 Приклад виконання завдання
- •10.1 Приклад виконання завдання
- •Загальне рівняння динаміки
- •11.1 Приклад виконання завдання
- •Рівняння Лагранжа 2-го роду д. 12 Дослідження руху матеріальної системи з використанням рівняння Лагранжа 2-го роду
- •12.1 Приклад виконання завдання
- •13.1 Приклад виконання завдання
- •Література
- •Теоретична механіка динаміка
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, внту
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95
5.1 Приклад виконання завдання
Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S1, якщо матеріальна система (рис.5.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m1=10 кг, m2=2 кг, m3=1 кг, R2=0,4 м, r2=0,3м, R3=0,3 м, r3=0,2 м, ρ2=0,35 м, ρ3=0,25 м, α=30˚, β=45˚, S1=0,4 м.
Рисунок 5.6
Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної систем (рис.5.6) застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі.
=∑Nе+∑Nі
, (5.1)
де Т — кінетична енергія системи при 0<х≤S1;
∑Nі та ∑Nе− сума потужностей внутрішніх та зовнішніх сил системи.
Матеріальна система (рис.5.6) складається із твердих тіл та нерозтяжних шнурів, тоді
∑ Nі=0. (5.2)
Диференціальне рівняння (5.1), враховуючи (5.2) набуває вигляду
=∑ Nе. (5.3)
Знайдемо кінематичні співвідношення між швидкостями точок, кутовими швидкостями тіл, записавши їх через швидкість V1 центра мас тіла1.
Кутова швидкість тіла 1, враховуючи, що миттєвий центр швидкості тіла 1 знаходиться в точці О1 (рис.5.6)
ω1=
,
(5.4)
де R1 – радіус однорідного суцільного диска (тіла) 1.
Кутова швидкість тіла 2
(5.5)
Швидкість точки А, враховуючи, що тіла 2 та 3 з’єднані нерозтяжним шнуром.
.
(5.6)
Оскільки точка О3 – миттєвий центр швидкості тіла 3, тоді
.
(5.7)
Із (5.6) та (5.7) визначаємо кутову швидкість тіла 3
. (5.8)
Швидкість V3 центра мас тіла 3
.
(5.9)
Знайдемо переміщення центра мас тіла 3.
Оскільки (5.10)
i, враховуючи (5.9), отримаємо
або
.
(5.11)
При t = 0, S1 = 0, та S3 = 0 і після інтегрування (5.11) маємо:
. (5.12)
Знайдемо кінетичну енергію матеріальної системи як суму кінетичних енергій тіл 1,2 та 3.
Т=Т1+Т2+Т3. (5.13)
,
де
− момент
інерції тіла 1 відносно центральної
осі. Тоді, враховуючи (5.4),
.
(5.14)
Тіло 2 обертається навколо горизонтальної осі і кінетична енергія знаходиться за формулою
де І2
=
−
момент інерції
тіла 3 відносно головної центральної
осі;
ω2 − кутова швидкість тіла 2 (5.5). Тоді
.
(5.15)
Кінетична енергія тіла 3
,
де І3
=
−
момент інерції
тіла 3 відносно головної центральної
осі;
-
(5.8);
− швидкість центра
мас тіла 3.
. (5.16)
Тепер кінетичну енергію (5.13) системи, враховуючи (5.14) – (5.16), визначимо за формулою
.
(5.17)
Покажемо зовнішні сили, що прикладені до матеріальної системи (рис.5.6). Знайдемо суму потужностей зовнішніх сил.
Потужність сил
,
,
дорівнює
нулю тому, що точка О2
прикладення сил нерухома.
Потужність сил
,
,
,
,
дорівнює нулю, оскільки сили прикладені
в миттєвих центрах швидкостей тіла 1 та
3.
Потужність зовнішніх сил, під дією яких рухається матеріальна система (рис. 5.6)
,
де
Тоді, враховуючи що (5.9)
отримаємо
(5.18)
Підставляючи (5.17) і (5.18) в (5.3), маємо
(5.19)
Оскільки
(а1
– прискорення центра мас тіла 1), тоді
.
Або, підставляючи дані умови задачі,
.
Знайдемо швидкість центра мас тіла 1.
Рівняння (5.19) запишемо у вигляді:
(5.20)
При t=0, V10=0, S10=0.
При t=, V1=V1, S1=S1 , (5.21)
де - час, за який центр мас тіла 1 пройде шлях S1.
Інтегруючи рівняння
(5.20) за умовами (5.21), визначаємо швидкість
центра мас тіла 1 за час
(
).
або підставляючи числові дані, отримаємо:
Відповідь:
;
.
Д.6 Дослідження руху матеріальної системи з застосуванням основних (загальних) теорем динаміки
Матеріальна система
(рис.6.1-6.10) приводиться до руху
електродвигуном 5, момент якого в період
пуску
.
Знайти прискорення
(схеми 1-3, 5-10, 12-17, 19-30) або кутове прискорення
(схеми 4,11,18) тіла 1, зусилля в пасах та
між тілами, реакції циліндричних шарнірів
тіл 2 і 3 в момент часу
якщо момент опору руху
.
Натяг у ведучій частині нескінченного паса (схеми 5,10-13,16,18,22, 25,27,28,30) вдвічі більший від натягу у веденій.
Однорідне тіло 3 та східчастий шків 2 обертаються навколо паралельних осей.
В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Коефіцієнт тертя ковзання між тілами дорівнює f. Тіло 1 (схеми 2,10,19,30) переміщується по гладенькій похилій площині.
Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати.
Дані для розрахунку
взяти з таблиці 6.1, де прийняті такі
позначення:
- маса тіл 1,2 та 3;
-
маса пружної муфти;
- маса ротора електродвигуна;
- моменти інерції пружної муфти 4 та
ротора електродвигуна 5 відносно осі
обертання;
-
розміри тіл 3 та 2;
-
радіус інерції тіла 2.