5.1 Приклад виконання завдання

Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S₁, якщо матеріальна система (рис.5.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m₁=10 кг, m₂=2 кг, m₃=1 кг, R₂=0,4 м, r₂=0,3м, R₃=0,3 м, r₃=0,2 м, ρ₂=0,35 м, ρ₃=0,25 м, α=30˚, β=45˚, S₁=0,4 м.

Рисунок 5.6

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної систем (рис.5.6) застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі.

=∑N^е+∑N^і , (5.1)

де Т — кінетична енергія системи при 0<х≤S1;

∑N^і та ∑N^е− сума потужностей внутрішніх та зовнішніх сил системи.

Матеріальна система (рис.5.6) складається із твердих тіл та нерозтяжних шнурів, тоді

∑ N^і=0. (5.2)

Диференціальне рівняння (5.1), враховуючи (5.2) набуває вигляду

=∑ N^е. (5.3)

Знайдемо кінематичні співвідношення між швидкостями точок, кутовими швидкостями тіл, записавши їх через швидкість V₁ центра мас тіла1.

Кутова швидкість тіла 1, враховуючи, що миттєвий центр швидкості тіла 1 знаходиться в точці О₁ (рис.5.6)

ω₁= , (5.4)

де R₁ – радіус однорідного суцільного диска (тіла) 1.

Кутова швидкість тіла 2

(5.5)

Швидкість точки А, враховуючи, що тіла 2 та 3 з’єднані нерозтяжним шнуром.

. (5.6)

Оскільки точка О₃ – миттєвий центр швидкості тіла 3, тоді

. (5.7)

Із (5.6) та (5.7) визначаємо кутову швидкість тіла 3

. (5.8)

Швидкість V₃ центра мас тіла 3

. (5.9)

Знайдемо переміщення центра мас тіла 3.

Оскільки (5.10)

i, враховуючи (5.9), отримаємо

або

. (5.11)

При t = 0, S₁ = 0, та S₃ = 0 і після інтегрування (5.11) маємо:

. (5.12)

Знайдемо кінетичну енергію матеріальної системи як суму кінетичних енергій тіл 1,2 та 3.

Т=Т₁+Т₂+Т₃. (5.13)

,

де − момент інерції тіла 1 відносно центральної осі. Тоді, враховуючи (5.4),

. (5.14)

Тіло 2 обертається навколо горизонтальної осі і кінетична енергія знаходиться за формулою

де І₂ = − момент інерції тіла 3 відносно головної центральної осі;

ω₂ − кутова швидкість тіла 2 (5.5). Тоді

. (5.15)

Кінетична енергія тіла 3

,

де І₃ = − момент інерції тіла 3 відносно головної центральної осі;

- (5.8);

− швидкість центра мас тіла 3.

. (5.16)

Тепер кінетичну енергію (5.13) системи, враховуючи (5.14) – (5.16), визначимо за формулою

. (5.17)

Покажемо зовнішні сили, що прикладені до матеріальної системи (рис.5.6). Знайдемо суму потужностей зовнішніх сил.

Потужність сил , , дорівнює нулю тому, що точка О₂ прикладення сил нерухома.

Потужність сил , , , , дорівнює нулю, оскільки сили прикладені в миттєвих центрах швидкостей тіла 1 та 3.

Потужність зовнішніх сил, під дією яких рухається матеріальна система (рис. 5.6)

,

де

Тоді, враховуючи що (5.9)

отримаємо

(5.18)

Підставляючи (5.17) і (5.18) в (5.3), маємо

(5.19)

Оскільки (а₁ – прискорення центра мас тіла 1), тоді

.

Або, підставляючи дані умови задачі,

.

Знайдемо швидкість центра мас тіла 1.

Рівняння (5.19) запишемо у вигляді:

(5.20)

При t=0, V₁₀=0, S₁₀=0.

При t=, V_1=V₁, S_1=S₁ , (5.21)

де  - час, за який центр мас тіла 1 пройде шлях S₁.

Інтегруючи рівняння (5.20) за умовами (5.21), визначаємо швидкість центра мас тіла 1 за час  ( ).

або підставляючи числові дані, отримаємо:

Відповідь: ; .

Д.6 Дослідження руху матеріальної системи з застосуванням основних (загальних) теорем динаміки

Матеріальна система (рис.6.1-6.10) приводиться до руху електродвигуном 5, момент якого в період пуску .

Знайти прискорення (схеми 1-3, 5-10, 12-17, 19-30) або кутове прискорення (схеми 4,11,18) тіла 1, зусилля в пасах та між тілами, реакції циліндричних шарнірів тіл 2 і 3 в момент часу якщо момент опору руху .

Натяг у ведучій частині нескінченного паса (схеми 5,10-13,16,18,22, 25,27,28,30) вдвічі більший від натягу у веденій.

Однорідне тіло 3 та східчастий шків 2 обертаються навколо паралельних осей.

В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Коефіцієнт тертя ковзання між тілами дорівнює f. Тіло 1 (схеми 2,10,19,30) переміщується по гладенькій похилій площині.

Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати.

Дані для розрахунку взяти з таблиці 6.1, де прийняті такі позначення: - маса тіл 1,2 та 3; - маса пружної муфти; - маса ротора електродвигуна; - моменти інерції пружної муфти 4 та ротора електродвигуна 5 відносно осі обертання; - розміри тіл 3 та 2; - радіус інерції тіла 2.