1.1 Приклад виконання завдання

На невільну матеріальну точку масою m, що рухається по похилій шорсткій поверхні ОА (рис. 1.2), діє сила H. Із швидкістю точка залишає поверхню ОА. На ділянці АВ точко переміщується в середовищі з опором, сила якого Н.

Рисунок 1.2

Знайти і побудувати траєкторію руху точки на ділянці АВ, її швидкість в пункті В якщо: коефіцієнт тертя ковзання – f = 0,25; початкова швидкість точки v₀ = 0,5 м/c; τ = 2 с; d = 2,0 м.

Розв’язання. Точка масою m на ділянці ОА переміщується під дією сил: ваги , сили , нормальної реакції шорсткої поверхні та сили тертя (рис. 1.3).

Запишемо закон руху точки на ділянці ОА

в проекціях на осі Х₁ та У₁.

. (1.1)

. (1.2)

Рисунок 1.3

Силу тертя знайдемо за законом Амонтона-Кулона, який при переміщені точки з невеликою швидкістю запишеться:

. (1.3)

Оскільки точка рухається по прямій ОА, тоді , і з рівняння (1.2) отримаємо:

, (1.4)

де .

Диференціальне рівняння (1.1), враховуючи (1.3) та (1.4) і значення сили F, набуває вигляду:

Або

(1.5)

Інтегруємо диференціальне рівняння (1.5) при початкових умовах: при, , .

,

,

. (1.6)

Відстань ОА точка проходить за τ с і її швидкість v_A в точці А знаходимо за формулою (1.6) при t₁= τ

,

.

На ділянці АВ (рис. 1.4) точка рухається під дією сили ваги та сили опору , що направлена в протилежну сторону швидкості точки.

Рисунок 1.4

Запишемо диференціальне рівняння руху точки в проекціях на осі Х та У.

(1.7)

. (1.8)

де , , .

Тоді

.

.

Або

. (1.9)

. (1.10)

При t=0; (1.11)

Оскільки , , то в диференціальних рівняннях (1.9) та (1.10), розподіляючи, змінні, отримаємо:

,

.

Інтегруючи рівняння при початкових умовах (1.11), знаходимо:

, .

, .

Або

. (1.12)

. (1.13)

Інтегруємо рівняння (2.12) та (2.13) при початкових умовах (1.11).

.

.

Або

. (1.14)

. (1.15)

Із рівняння (1.14) та (1.15) знаходимо рівняння траєкторії руху точки на ділянці АВ.

. (1.16)

Будуємо траєкторію руху точки (рис.1.5,б), використовуючи рівняння(1.16) (рис. 1.5,а) або формули (1.14) та (1.15).

t x y y/x 0,1 1,686 1,03 0,61 0,3 2,011 1,33 0,66 0,7 2,02 1,55 0,77 1 2,02 1,72 0,85 1,5 2,02 1,99 0,98 2 2,02 2,26 1,12

а) б)

Рисунок 1.5

Знайдемо швидкість точки v_B. При t₂=T, x_T=d; тоді із рівняння (1.14) визначаємо час Т руху точки на ділянці АВ.

,

.

На підставі рівняння (1.12) та (1.13) визначаємо проекції швидкості по осі Х та У (t₂=T)

.

.

Швидкість точки в пункті В ділянки АВ.

,

.

На ділянці АВ швидкість точки зменшилась від v_A=42,06м/с до v_В=0,82м/с, тобто в раза за рахунок сили опору.

Відповідь: , .