9.4 Згин із крученням
9.4.1 Стержень круглого поперечного перерізу
Нехай стержень навантажено так, що в його поперечних перерізах виникають два внутрішні силові фактори згинний і крутний моменти (рис. 9.10). Характерними прикладами такого стержня є вали різноманітних машин, що переважно зазнають одночасного згинання із крученням.
Розглянемо напружений стан в точці, що знаходиться на поверхні стержня.
В
Рисунок 9.10
здовж осі діють нормальні напруження від згину. Нагадаємо, що
. (9.22)
В площині поперечного перерізу (також і в площинах поздовжніх перерізів) виникають дотичні напруження від кручення. Нагадаємо, що
|
(9.23) |
.Отже, в точках стержня виникає плоский напружений стан. Тому для оцінки міцності слід скористатися однією із теорій міцності. Головні напруження (див. п.3.5.2) визначаються за формулою
|
|
.Умова міцності, наприклад за третьою теорією, набуде вигляду
|
(9.24) |
.Підставивши (9.22) і (9.23) в (9.24), отримаємо
|
(9.25) |
,де зведений момент за третьою теорією
|
|
,а у випадку просторового згину із крученням
|
|
.При використанні четвертої (енергетичної) теорії умова міцності матиме вигляд
|
|
,а при використанні теорії Мора
|
|
.
9.4.2 Стержень прямокутного перерізу
П
Рисунок 9.11
ри згині в двох площинах та крученні стержня прямокутного перерізу (рис. 9.11) виникають нормальні і дотичні напруження, епюри яких зображено на рис. 9.12. Дотичні напруження діють у площині поперечного перерізу, а нормальні – по нормалі до нього.Небезпечною може виявитися одна з точок – 1, 2 чи 3. У точці 1 нормальні напруження від згину в обох площинах досягають екстремальних значень, а дотичні дорівнюють нулю. Напружений стан лінійний, а умова міцності має вигляд
|
(9.26) |
.У точках 2 та 3 діють нормальні напруження від згину ( і відповідно) та дотичні від кручення. Дотичними напруженнями від згину і зазвичай нехтують унаслідок їхньої малості порівняно з дотичними напруженням
Рисунок 9.12
и від кручення. У цих точках напружений стан плоский і для оцінки міцності слід скористатися однією з теорій міцності. Нагадаємо, що для оцінки міцності стержня із пластичного матеріалу зазвичай використовують третю чи четверту теорії міцності, а якщо матеріал крихкий – теорію Мора.
Наприклад, умови міцності за третьою теорією (теорією найбільших дотичних напружень) мають вигляд:
- для точки 2
|
(9.27) |
;
- для точки 3
|
(9.28) |
.
Міцність стержня буде забезпечена, якщо виконуватимуться всі три умови (9.26)-(9.28).