9 Складний опір

9.1 Загальні поняття

Складний опір виникає у випадку, коли в поперечних перерізах стержня одночасно діє не менше ніж два внутрішні силові фактори (виключенням є прямий поперечний згин, що відносять до простого опору стержня, оскільки в практичних розрахунках впливом поперечної сили зазвичай нехтують).

П

Рисунок 9.1

ри розрахунках на складний опір використовують принцип суперпозиції. Нагадаємо, що в загальному випадку навантаження в поперечних перерізах стержня може виникати шість внутрішніх силових факторів (рис. 9.1). Поздовжня сила і згинні моменти , викликають в поперечному перерізі нормальні напруження. Поперечні сили , , і крутний момент викликають дотичні напруження.

Всі види складного опору можна розділити на три групи:

1. Складний опір, при якому в довільній точці перерізу можуть виникати лише нормальні напруження , , , що діють по одній прямій (лінійний напружений стан) і можуть бути враховані шляхом алгебраїчного сумування

.

2. Складний опір, при якому в довільній точці перерізу виникають лише дотичні напруження , і , що діють в одній площині та спрямовані під кутом одне до одного і можуть бути враховані шляхом геометричного сумування

.

3. Складний опір, при якому в точках перерізу одночасно виникають нормальні і дотичні напруження (плоский напружений стан), що можуть бути враховані в розрахунках шляхом застосування однієї із теорій міцності.

9.2 Косий згин

К

Рисунок 9.2

осим називається такий вид згину, при якому площина дії згинного моменту в даному поперечному перерізі стержня не проходить через головну центральну вісь інерції цього перерізу (рис. 9.2).

Н

а) б) в) г)

априклад, балки покрівлі зазвичай навантажені силами, площина дії яких складає досить значний кут з головними осями (рис.9.2,а-в), теж саме може бути спричинене особливістю геометрії самого перерізу (рис. 9.2,г); часто зустрічаються випадки, коли площина дії навантажень лиш трохи відхиляється від головних осей інерції (з технологічних причин чи внаслідок неточностей при виготовленні та монтуванні конструкцій).

Розрізняють плоский косий згин, коли всі зовнішні сили лежать в одній площині, а пружна лінія балки – плоска крива і просторовий згин, коли зовнішні сили діють в різних площинах (площини згинних моментів в різних поперечних перерізах орієнтовані по різному), а пружна лінія балки – просторова крива.

Розглянемо плоский косий згин консольної балки (рис. 9.3). Розкладемо зовнішню силу на складові по головним осям інерції поперечного перерізу балки

; .

Т

Рисунок 9.3

аким чином, приводимо випадок косого згину до комбінації двох прямих поперечних згинів, які спричинені силами і , що діють в головних площинах інерції балки. Сумуючи напруження і деформації, що відповідають поперечним згинам, отримаємо розв’язок задачі косого згину.

Згинні моменти в перерізі з абсцисою від сил і (рис. 9.4,а) дорівнюють

(9.1)

д

а)

б)

Рисунок 9.4

е - повний згинний момент; - кут між віссю і площиною дії повного моменту (рис. 9.4,б).

Розділивши перший вираз (9.1) на другий, одержимо

.

(9.2)

Щоб знайти положення площини дії повного згинного моменту необхідно вісь повернути на кут , так щоб вона проходила через центр ваги перерізу і два квадранта, в яких моменти і викликають нормальні напруження одного

знаку (на рис. 9.4 це будуть I і ІІІ квадранти).

Нормальні напруження в довільній точці поперечного перерізу балки визначаємо за формулою

.

(9.3)

У формулу (9.3) згинні моменти і підставляють зі знаком плюс, якщо в точках першої чверті їм відповідають розтягуючі нормальні напруження, і зі знаком мінус, якщо – стискаючі. Координати точки і підставляють зі своїми знаками.

Рівняння нейтральної лінії отримаємо, розглядаючи її як геометричне місце точок перерізу, в яких нормальні напруження дорівнюють нулю

,

звідси

.

(9.4)

Це рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

.

(9.5)

Отже, щоб знайти положення нейтральної осі потрібно вісь повернути на кут так, щоб вона проходила через центр ваги перерізу і два квадранта, в яких моменти і викликають нормальні напруження різних знаків (рис. 9.4,б).

З формули (9.5) бачимо, що в загальному випадку кут не дорівнює куту , тобто нейтральна вісь не перпендикулярна площині дії згинного моменту. Вона може бути перпендикулярною до цієї площини лише у випадку (круг, кільце, квадрат), тому для балок із такими поперечними перерізами поняття косого згину нівелюється.

Формулу (9.3), враховуючи (9.1) приведемо до іншого вигляду

, або ,	(9.6)

де - відстань від довільної точки перерізу до нейтральної осі. Аналіз рівняння (9.6) показує, що найбільші напруження виникають в точках поперечного перерізу, що найбільш віддалені від нейтральної осі (рис. 9.4,б).

У випадку, коли переріз має дві осі симетрії (прямокутник, двотавр), напруження в найбільш віддалених від нейтральної осі точках однакові за величиною і відрізняються лише знаком. Умова міцності для пластичного матеріалу має вигляд

,

(9.7)

де , - моменти опору перерізу відносно осей і .

Для виконання проектного розрахунку рівняння (9.7) зручно представити у вигляді

,

(9.8)

де - величина, якою попередньо задаються.

Я

Рисунок 9.5

кщо переріз стержня не має двох осей симетрії (рис. 9.5), то формула (9.8) виявляється непридатною. У цьому випадку доводиться задаватись розмірами перерізу, а потім виконувати перевірочний розрахунок. Наприклад, для крихкого матеріалу умова міцності має вигляд

(9.9)

Якщо , достатньо записати одну з умов (9.9), що відповідає більшому за абсо­лютною величиною напруженню.

Повернемося до прикладу (рис. 9.3) та знайдемо прогин вільного торця балки:

- прогин від дії сили

;

(9.10)

- прогин від дії сили

;

(9.11)

- повний прогин (рис. 9.6)

.

(9.12)

З

Рисунок 9.6

найдемо тангенс кута між повним прогином і віссю

.

(9.13)

О

Нейтральна вісь

тже, при плоскому косому згині повний прогин спрямовано перпендикулярно до нейтральної осі.

Рівність (9.13) показує, що чим більше відношення , тим більша різниця між кутами і . Тому, для вузьких і високих перерізів, в яких відношення головних моментів інерції досить велике, вже незначне відхилення площини дії зовнішніх сил від площини найбільшої жорсткості викликає значне відхилення площини згину балки, що слід враховувати при проектуванні.