8.4 Рівняння трьох моментів

Статично невизначену балку, що має більш ніж дві опори називають нерозрізною.

Н

ехай задана нерозрізна балка з довільною кількістю прольотів (рис. 8.4,а). За основну систему візьмемо ряд простих балок, що одержують після врізання в тіло нерозрізної балки шарнірів над її кожною проміжною опорою.

П

Рисунок 8.4

Еквівалентна система

ри такій основній системі невідомими у рівняннях переміщень будуть згинні моменти, що виникають над опорами нерозрізної балки при її навантаженні. Припустимо, що ці опорні моменти додатні. Прикладемо їх разом із заданим навантаженням до простих балок основної системи і отримаємо еквівалентну систему (рис. 8.4,б).

Під дією такого навантаження прості балки еквівалентної системи деформуються і, зокрема, їх опорні перерізи повертаються один відносно одного на певний кут, що позначений на опорі через (рис. 8.4,в).

Рівняння переміщень випливає з умови, що реальна нерозрізна балка проходить суцільно над всіма опорами і тому опорні перерізи однопрольотних балок еквівалентної системи не можуть повертатися один відносно одного, тобто

.

(8.7)

Використовуючи принцип незалежності дії сил

,

(8.8)

де , , - кути повороту опорних перерізів однопрольотних балок еквівалентної системи на опорі від дії одиничних моментів , , , а - від дії зовнішнього навантаження.

Коефіцієнти рівняння (8.8) визначимо за способом Верещагіна (рис. 8.5):

;

Рисунок 8.5

.

Вільний член рів-няння (8.8) , тобто взаємний кут повороту опорних перерізів простих балок еквівалентної системи на опорі від дії зовнішніх навантажень, зобразимо як суму кутів і зліва і справа від опори (рис. 8.6)

.

(8.9)

Після підстановки значень коефіцієнтів і вільного члена у рівняння (8.8) отримаємо

.

(8.10)

Одержане рівняння переміщень для нерозрізної балки називають рівнянням трьох моментів. Таких рівнянь треба скласти стільки, скільки балка має зайвих опор.

Якщо момент інерції нерозрізної балки змінюється від прольота до прольота, то рівняння (8.10) набуде вигляду

,

(8.11)

де і - моменти інерції відносно осі згину поперечних перерізів n і n+1 прольотів.

Я

Рисунок 8.6

кщо серед двох кінцевих опор нерозрізної балки є жорстке закріплення, то його штучно замінюють прольотом довжина якого дорівнює нулю (прольот безмежної жорсткості), при цьому зберігається звична форма запису рівняння трьох моментів.

Кути повороту опорних перерізів і можна знаходити у будь-який спосіб. Дуже зручно користатися відомими узагальненими формулами для типових навантажень, що подані в довідковій літературі.

Іноді праву частину рівняння (8.10) зручно представити в іншому вигляді

,

де і - площі епюр згинних моментів, що виникають від заданого зовнішнього навантаження в простих балках з прольотами і (рис. 8.4); і - відстані від центрів ваги вказаних епюр до та опор.

Після визначення опорних моментів , , кожен прольот розглядають як просту балку на двох опорах, що навантажена зовнішнім навантаженням і знайденими опорними моментами