8.2 Метод сил. Канонічні рівняння
Метод сил це найбільш загальний метод розкриття статичної невизначеності стержнів, балок та стержневих систем (рам, арок, ферм тощо).
Р
Рисунок 8.3
Основна система
а)
б)
в)
озглянемо довільну
разів статично невизначену балку (рис.
8.3,а). Шляхом
видалення
зайвих в’язей вихідну балку перетворюють
у статично визначену (рис.8.3,б),
яку називають основною системою методу
сил. Вибрати
зайвих в’язей можна по різному, тобто
для однієї балки можна утворити кілька
основних систем (тут слід керуватися
тим, щоб розрахунок у вибраному вЕквівалентна система
аріанті основної системи був найпростішим).
Завантаживши
основну систему зовнішнім навантаженням
і невідомими реактивними силами
,
,
...,
,
що замінюють вплив на балку видалених
в’язей, отримаємо еквівалентну систему
(рис. 8.3,в).
Невідомі сили , , ..., необхідно підібрати так, щоб еквівалентна система поводила себе як реальна. Умова еквівалентності описується канонічними рівняннями методу сил. Для їх запису зазвичай прирівнюють нулеві (чи заздалегідь відомій величині) переміщення точок кріплення видалених зайвих в’язей.
Використовуючи
принцип суперпозиції, запишемо вирази
для знаходження прогинів балки в точках
кріплення видалених в’язей
,
...,
у вигляді суми прогинів, що викликані
окремо кожною невідомою силою
,
,
...,
і заданим зовнішнім навантаженням
:
.
(8.1)
Нагадаємо, що,
наприклад, позначка
означає прогин точки прикладання сили
в напрямку її дії від сили
;
- те ж саме, тільки від зовнішнього
навантаження і т.д. Прогини
,
,
...,
можна записати як добутки питомого
прогину
,
що викликаний дією одиничної сили, на
величину відповідної сили.
Наприклад,
|
|
;
;
,
або
загалом
.
Тоді рівняння (8.1) набудуть вигляду
|
(8.2) |
Рівняння переміщень, що записані у вигляді (8.2), називають канонічними рівняннями методу сил (тут пунктиром виділені рівняння для один раз та два рази статично невизначених балок). Необхідна кількість рівнянь дорівнює ступеню статичної невизначеності балки.
Переміщення
,
,
що входять до канонічних рівнянь, можна
визначити у будь-який зручний спосіб.
Зазвичай користуються інтегралом Мора,
який частіш за все обчислюють за способом
Верещагіна. Для цього в основній системі
будують епюри згинних моментів окремо
від заданого зовнішнього навантаження
(так звана грузова епюра
)
і від кожної одиничної сили (так звані
одиничні епюри: від
- епюра
,
від
- епюра
,
від
- епюра
).
Для визначення
головних коефіцієнтів
,
,
...,
необхідно епюри
,
,
...,
помножити самі на себе за способом
Верещагіна, або користуючись формулою
Мора
|
|
;
;
...;
.Для визначення бічних коефіцієнтів канонічних рів-
нянь
,
,
...,
необхідно епюри
,
,
...,
пере-
множити
з відповідними епюрами
,
,
...,
за способом Верещагіна, або
|
|
;
;
...;
.Нагадаємо, що за теоремою про взаємність переміщень
|
|
.
Для визначення
вільних членів канонічних рівнянь
,
,
...,
необхідно грузову епюру
перемножити з відповідними одиничними
епюрами
,
,
...,
,
або
|
;
;
...;
.