14.2 Напруження в осесиметричній тонко-стінній оболонці. Розрахунок на міцність

Р

Рисунок 14.1

озглянемо осесиметричну тон-костінну оболонку товщиною , що перебуває під дією внутрішнього тиску . Двома суміж-ними меридіональ-ними перерізами і двома нормальними перерізами вирі-жемо елемент з розмірами і (рис. 14.1).

На гранях цього елемента будуть діяти нормальні напруження: - поздовжнє, або меридіональне напруження; - поперечне, або колове напруження.

Позначимо через радіус кривини дуги меридіана, а через - радіус кривини нормального перерізу.

Складемо рівняння рівноваги виділеного елемента оболонки. Для цього всі сили, що діють на нього спроектуємо на напрям нормалі до поверхні елемента

.

(14.1)

Зважаючи на малість розмірів елемента приймемо:

;	(14.2)
, .	(14.3)

Підставивши (14.2) і (14.3) в (14.1), одержимо

.

(14.4)

коротивши (14.4) на та розділивши на , отримаємо рівняння Лапласа

.

(14.5)

Д

Рисунок 14.2

руге рівняння, що необхідне для знаходження напружень і , отримують використовуючи умову рівноваги відрізаної частини оболонки (рис. 14.2).

Нехай розглядається частина оболонки, що заповнена рідиною чи сипучим матеріалом. При розрізі „по металу” прикладаємо напруження , при розрізі „по рідині” – тиск . Радіуси внутрішньої і серединної поверхні оболонки вважаємо приблизно однаковими. Умова рівноваги всіх сил в напрямку осі оболонки має вигляд

,

звідси

,

(14.6)

де - тиск всередині оболонки; - вага рідини чи сипучого тіла, що заповнює відрізаний об’єм; - вага відрізаної частини оболонки.

При розв’язанні практичних задач зручно користуватися двома теоремами, які ми приймемо без доведення.

Теорема 1. Якщо на довільну поверхню діє рівномірно розподілений тиск, то незалежно від форми поверхні, проекція рівнодійної сил тиску на задану вісь дорівнює добутку тиску на площу проекції поверхні на площину, що перпендикулярна до заданої осі.

Теорема 2. Якщо на довільну поверхню діє тиск рідини, то вертикальна складова сил тиску дорівнює вазі рідини в об’ємі, що розміщений над поверхнею.

Напруження і є головними. Третє головне напруження – перпендикулярне до поверхні оболонки і дорівнює (на тій поверхні, до якої прикладений тиск). Зазвичай це напруження значно менше і і ним нехтують, вважаючи, що матеріал оболонки перебуває в плоскому напруженому стані. Умови міцності, наприклад для пластичного матеріалу, набувають вигляду:

- третя теорія

або ;

(14.7)

- четверта теорія

.

(14.8)

При розрахунку резервуарів величину допустимих напружень встановлюють відповідно прийнятим в Україні нормам, що враховують марку сталі, конструктивні особливості резервуарів, температурний режим експлуатації, агресивність середовища тощо.