12 Розрахунки при ударних навантаженнях

Ударом називають навантаження, що передається тілу протягом малого проміжку часу і викликає в ньому значні прискорення, а отже і значні сили інерції. За характером прикладання сили до стержня розрізняють поздовжній, поперечний та крутний удари.

12.1 Технічна теорія удару

Визначення прискорень частинок матеріалу при ударі досить проблематичне. Тому для розв’язання задач зазвичай використовують закон збереження енергії. При цьому будують спрощену розрахункову модель системи, що базується на кількох припущеннях, які в більшості випадків забезпечують достатній для інженерних розрахунків рівень точності.

1. Напруження, що виникають в системі при ударі, не перевищують границю пропорційності матеріалу, тобто завжди можна використовувати закон Гука.

2. Удар будемо вважати ідеально непружним (без відскакування). Тобто падаюча маса після удару наче прилипає до тіла, що зазнає удару, після чого вони продовжують рухатися разом.

3. Місцеві деформації, що виникають в місці контакту тіл не враховуємо.

4. Розглядаємо випадки, коли маса пружного тіла, що зазнає удару, мала порівняно з масою тіла, що удару завдає. Тому пружну систему вважаємо безмасовою. Разом з цим нехтуємо явищем розповсюдження хвиль деформацій.

5. Вважаємо, що кінетична енергія, падаючого тіла повністю перетворюється у потенціальну енергію пружної деформації тіла, яке сприймає удар.

6. Закон розподілу напружень і деформацій по об’єму тіла, яке зазнає удару, залишається таким самим як і при статичній дії сил.

На основі цих припущень визначимо переміщення і напруження, що виникають в стержнях при ударі.

Зазначимо, що в рамках технічної теорії удару можна врахувати вплив маси пружної системи. Це підвищує точність розрахунків.

12.2 Поздовжній удар

Нехай на стержень довжиною з висоти вільно падає вантаж (рис. 12.1,а). Абсолютне видовження стержня, що спричинене динамічною поздовжньою силою , позначимо . Оскільки швидкість падаючого вантажу в кінці удару дорівнюватиме нулю, то зміна кінетичної енергії дорівнюватиме роботі сили , тобто

,

(12.1)

а потенціальна енергія пружної деформації стержня

.

(12.2)

К

Рисунок 12.1

ористуючись законом збереження енергії, прирівняємо праві частини (12.1) і (12.2)

.

(12.3)

Використовуючи вираз закону Гука , визначимо і підставимо у формулу (12.3):

. (12.4)

Врахуємо, що абсолютне видовження стержня при статичному прикладанні вантажу (рис. 12.1,б)

,

тоді розділивши ліву і праву частини рівняння (12.4) на жорсткість стержня прийдемо до зведеного квадратного рівняння

.

Розв’язавши його відносно , матимемо

.

(12.5)

В останній формулі слід остаточно прийняти знак плюс, оскільки знак мінус не відповідає фізичному змісту задачі (очевидно, що ).

Позначивши динамічний коефіцієнт при поздовжньому ударі як

,

(12.6)

отримаємо

,

(12.7)

а враховуючи лінійний зв’язок між напруженнями і деформаціями

,

(12.8)

де - напруження, що виникає при статичному прикладанні навантаження.

Вираз для динамічного коефіцієнта (12.6) можна записати в іншому вигляді, якщо скористатися залежністю між висотою та швидкістю у момент зіткнення. Знаючи, що , звідки , матимемо

.

(12.9)

Коли навантаження прикладається раптово ( , ), то , а ; .

Якщо вантаж падає з великої висоти , то вираз для динамічного коефіцієнта спрощується:

.

(12.10)