7.1 Робота сил пружності. Потенціальна енергія деформації стержня при довільному навантаженні

Робота сили, що статично діє на довільну пружну систему може бути представлена половиною добутку кінцевого значення цієї сили на кінцеве значення відповідного їй переміщення (див. п. 2.9)

.

(7.1)

Тут під силою будемо розуміти узагальнену силу, тобто будь-який силовий вплив: зосереджену силу, групу сил, розподілене навантаження, зосереджений момент і т.п. Під переміщенням будемо розуміти узагальнене переміщення, тобто той вид переміщення, на якому узагальнена сила виконує роботу.

Нагадаємо, що при деформації тіла роботу виконують не лише зовнішні, але й внутрішні сили, що протидіють деформаціям. Ця робота чисельно рівна роботі зовнішніх сил, але протилежна їй за знаком.

Зазнаючи пружної деформації, тіло накопичує (акумулює) потенціальну енергію. Причиною цього є зміна його конфігурації, тобто зміна взаємного розміщення частинок тіла у порівнянні з так званою нульовою конфігурацією – недеформованим станом. Чисельно потенціальна енергія деформації дорівнює дійсній роботі внутрішніх силових факторів. Суттєвим є те, що кожному із шести внутрішніх силових факторів , , , , і відповідають такі переміщення, на яких інші п’ять роботу не виконують. Тому, в загальному випадку дії сил потенціальна енергія деформації стержня дорівнює сумі робіт кожного внутрішнього силового фактора, що відповідає деформаціям розтягу, кручення, згину та зсуву (потенціальною енергією, що зумовлена поперечними силами зазвичай нехтують)

.

(7.2)

Крім дійсної роботи, зовнішні та внутрішні сили, прикладені до стержня, можуть виконувати так звану можливу (віртуальну) роботу на відповідних можливих переміщеннях.

М

Рисунок 7.1

Стан І

Стан ІІ

ожливою називають роботу, що здійснена силою на такому переміщенні, яке від неї не залежить. Можливими називають малі переміщення, що не залежать від сил, які виконують на них роботу.

Наприклад, розглянемо балку у двох станах навантаження (рис. 7.1). Переміщення, яких зазнає балка, позначимо через з двома індексами: перший означатиме місце і напрямок переміщення, другий - його причину.

У першому стані, статично прикладена сила , виконує на переміщенні дійсну роботу

.

У другому стані навантаження до балки, на яку вже діє сила , прикладається ще сила . Внаслідок цього у напрямку сили виникає переміщення , на якому сила виконує можливу роботу

.

(7.3)

7.2 Теореми про взаємність робіт та про взаємність переміщень

Теорема про взаємність робіт (теорема Бетті). Можлива робота сил першого стану на переміщеннях в їх напрямку, що викликані силами другого стану, дорівнює можливій роботі сил другого стану на переміщеннях в їх напрямку, але викликаних силами першого стану (рис. 7.2) . Ця теорема справедлива як для зовнішніх, так і для внутрішніх сил, тобто

; ; .

(7.4)

Т

Рисунок 7.2

Стан І

Стан ІІ

еорема про взаєм-ність переміщень (теорема Максвела). При двох чисельно рівних силових впливах переміщення, що викликане силами першого стану в напрямку сил другого стану, дорівнює переміщенню, що викликане силами другого стану, в напрямку сил першого стану. Отже, якщо , то

. (7.5)