2.2. Определение параметров модели
Необходимо определить в простой кейнсианской модели формирования доходов параметры уравнения функции потребления. Исходная система уравнений имеет вид:
(20)
(21)
где t – индекс, указывающий на то, что уравнения (4), (5) являются системой одновременных уравнений для моментов времени t1 – tn;
ut – случайная составляющая.
Ct, Yt – эндогенные переменные функции потребления и дохода, соответственно.
It – экзогенно заданная функция, отражающая инвестиционный спрос.
Из уравнения (20) методом наименьших квадратов (МНК) найти параметры a и b невозможно, так как оценки будут смещенными. Необходимо использовать косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).
Для этого эндогенные переменные выразим через экзогенные. Подставим выражение (20) в (21):
Yt = a+b*Yt + ut +It, (22)
отсюда получаем:
(23)
Подставим выражение (23) в уравнение (20) и получим:
(24)
Данное уравнение не содержит в правой части эндогенных переменных, а имеет только экзогенную переменную в виде It (инвестиций). Экзогенная переменная не коррелирует со случайной составляющей ut и, следовательно, параметры этого уравнения могут быть найдены с помощью МНК.
Представим это уравнение (24) в следующем виде:
Ct= a*+b*It + ut*, (25)
где
(26)
Используя имеющиеся в приложении данные о величинах Ct и It, найдем с помощью МНК несмещенные оценки a* и b*. Для этих целей применим, имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активизация этого метода производится командами: “Сервис” – “Анализ данных” – “Регрессия”. Получаем следующие таблицы:
Таблица 4
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
Множественный R |
0,904309538 |
R-квадрат |
0,817775741 |
Нормированный R-квадрат |
0,802590386 |
Стандартная ошибка |
12843,86683 |
Наблюдения |
14 |
Таблица 5
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
1 |
8883842779 |
8883842779 |
53,85292246 |
8,99375E-06 |
Остаток |
12 |
1979578981 |
164964915,1 |
|
|
Итого |
13 |
10863421760 |
|
|
|
Таблица 6
|
Коэф-ты |
Стандарт. ошибка |
t-статис. |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересеч. |
283462,5 |
6157,552 |
46,0349 |
7,20586E-15 |
270046,3 |
296878 |
270046 |
296878 |
I |
0,714425 |
0,09735 |
7,33845 |
8,99375E-06 |
0,5023 |
0,926 |
0,50230 |
0,9265 |
Таблица 7
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное C |
Остатки |
1 |
362049,3238 |
-3561,323765 |
2 |
355683,7939 |
25128,20612 |
3 |
349318,264 |
-16251,264 |
4 |
342952,7341 |
10745,26588 |
5 |
336587,2042 |
-3507,204235 |
6 |
330221,6744 |
-6926,674353 |
7 |
323856,1445 |
-15263,14447 |
8 |
317490,6146 |
6432,385412 |
9 |
311125,0847 |
7861,915294 |
10 |
304759,5548 |
-14521,55482 |
11 |
298394,0249 |
-6525,024941 |
12 |
292028,4951 |
-4928,495059 |
13 |
285662,9652 |
15880,03482 |
14 |
283541,1219 |
5436,878118 |
a*= 992630,98
b*=2,5
После определения значений a* и b* необходимо определить несмещенные оценки величин a и b, используя соотношения:
(27)
Сами значения величин a, b необходимо определить по формулам:
(28)
a= |
283462,5 |
b= |
0,714425 |
Используя найденные значения a и b, записываем уравнение функции потребления (20).
Ct=283462,5+0,71*Yt+ut
Сравниваем найденные по формуле (28) значения a и b с величиной aтабл. и bтабл., заданными в таблице 1. Рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:
(29)
Таблица 8
a``% |
b``% |
72% |
70% |
Определяем по формуле (21) значения величин Yt (для t в пределах от t1 до t14), взяв значения Ct и It из таблицы 4.
Таблица 9
t |
C |
I |
Y |
1 |
358488 |
110000 |
468488 |
2 |
380812 |
101090 |
481902 |
3 |
333067 |
92180 |
425247 |
4 |
353698 |
83270 |
436968 |
5 |
333080 |
74360 |
407440 |
6 |
323295 |
65450 |
388745 |
7 |
308593 |
56540 |
365133 |
8 |
323923 |
47630 |
371553 |
9 |
318987 |
38720 |
357707 |
10 |
290238 |
29810 |
320048 |
11 |
291869 |
20900 |
312769 |
12 |
287100 |
11990 |
299090 |
13 |
301543 |
3080 |
304623 |
14 |
288978 |
110 |
289088 |
Приняв в качестве исходных данных имеющиеся значения Ct и Yt, определяем с помощью метода наименьших квадратов смещенные оценки aсм и bсм величин a и b, используя уравнение (20). Сравниваем найденные значения aсм и bсм с величинами a и b, заданными в таблице 1.
Получаем следующие таблицы:
Таблица 10
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
Множественный R |
0,969697271 |
R-квадрат |
0,940312797 |
Нормированный R-квадрат |
0,935338863 |
Стандартная ошибка |
7350,778072 |
Наблюдения |
14 |
Таблица 11
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
Регрессия |
1 |
10215014500 |
10215014500 |
189,048121 |
1,04716E-08 |
Остаток |
12 |
648407259,2 |
54033938,26 |
|
|
Итого |
13 |
10863421760 |
|
|
|
Таблица 12
|
Коэф-ты |
Стандар. ошибка |
t-статис. |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересеч. |
157224,16 |
12070,6 |
13,0253 |
1,92988E-08 |
130924 |
183523,9 |
130924,4 |
183523 |
Y |
0,4384432 |
0,03188 |
13,7494 |
1,04716E-08 |
0,36896 |
0,507921 |
0,368965 |
0,5079 |
Таблица 13
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
Наблюдение |
Предсказанное C |
Остатки |
1 |
362629,5842 |
-4141,584174 |
2 |
368510,8626 |
12301,13742 |
3 |
343670,8575 |
-10603,85751 |
4 |
348809,8514 |
4888,148587 |
5 |
335863,4977 |
-2783,497702 |
6 |
327666,8002 |
-4371,80024 |
7 |
317314,2771 |
-8721,277082 |
8 |
320129,0831 |
3793,916943 |
9 |
314058,3971 |
4928,602851 |
10 |
297547,061 |
-7309,060979 |
11 |
294355,6322 |
-2486,632211 |
12 |
288358,1663 |
-1258,166334 |
13 |
290784,0731 |
10758,9269 |
14 |
283972,8565 |
5005,143535 |
Рассчитываем проценты несовпадения данных величин по формулам:
(30)
Vасм% |
-34% |
Vbсм% |
-27% |