Вопрос 42

Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъекта, с помощью волновой функции можно рассчитать вероятность пребывания частицы в различных точках пространства в различные моменты времени, а также средние значения различных ее параметров. Соответственно вероятностному смыслу волновой функции и используя формулы теории вероятности, средние значения параметров находятся путем усреднения соответствующих операторов с помощью волновой функции. Например среднее значение для модуля радиуса-вектора частицы <r> можно найти по формуле

. (1.9)

Так как в физических экспериментах определяются именно средние значения параметров частицы, то можно говорить, что состояние частицы полностью задается ее волновой функцией.

Вид волновой функции зависит от типа частицы и от внешних силовых полей, действующих на частицу. Вид функции находится с помощью специального дифференциального уравнения, называемого уравнением Шредингера.

Если в эксперименте наблюдается суперпозиция (объединение) микрочастиц, описываемых разными волновыми функциями, то объединенный ансамбль этих частиц будет описываться суммой их волновых функций. Например, если при интерференции микрочастиц на двух щелях, их можно по отдельности описать двумя функциями ψ₁ и ψ₂, тогда совокупность этих частиц в районе экрана должна описываться функцией ψ = ψ₁+ψ₂. Так как вероятность распределения частиц на экране dP определяется квадратом модуля волновой функции, то получаем dP  ψ² = ψ₁² + 2ψ₁ψ₂ + ψ₂². Отсюда следует, что распределение зависит не только от простого сложения вероятностей двух независимых ансамблей ψ₁² + ψ₂², но и от результата их специфичного квантового «взаимодействия» 2ψ₁ψ₂, вследствие чего и наблюдается интерференция частиц.

Вопрос 43

Для расчета волновой функции необходимо иметь уравнение, которое позволяло бы для любого момента времени определить эту функцию с учетом действующих на частицу внешних силовых полей. Чтобы искомое уравнение учитывало волновые свойства микрочастиц, необходимо чтобы оно по форме было волновым уравнением, подобно тем, которые описывают звуковые или электромагнитные волны. Известно, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение – это дифференциальное уравнение в частных производных, где независимыми переменными являются координаты и время. Учитывая такие аналогии, австрийский физик Эрвин Шредингер получил в 1926 г. основное уравнение квантовой механики для ψ (х, у, z, t) , (1.10)

где m – масса частицы, i – мнимая единица, U – потенциальная энергия частицы, Δ‑оператор Лапласа, который представляет собой сумму вторых частных производных по координатам, т.е.

(1.11)

Из уравнения Шредингера следует, что конкретный вид волновой функции зависит от потенциальной энергии U, т.е. определяется характером сил, действующих на частицу. Уравнение Шредингера оказалось комплексным (включающим в себя мнимую единицу), поэтому и волновая функция также комплексная, при этом реальный физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции (2.5, 2.6), который всегда действителен.

Уравнение Шредингера, будучи дифференциальным уравнением, может иметь множество решений. Из этих решений смысл имеют только те, в которых волновая функция будет однозначной, непрерывной и конечной, что соответствует физической реальности. Эти требования должны относиться и к частным производным от функции по времени и координатам, так как они тоже входят в уравнения Шредингера. Кроме этих требований на волновую функцию накладывается условие нормировки , (1.12)

которое следует из того факта, что частица реально существует и обязательно находится где-либо в окружающем пространстве. Поэтому суммарная вероятность нахождения частицы во всем бесконечном пространстве равна единице, т.е. это достоверное событие. Смысл и назначение уравнения Шредингера заключается в том, что если известна волновая функция некоторой частицы в начальный момент времени и известно силовое поле, в котором она движется, то, решив это уравнение, можно найти волновую функцию и узнать характеристики состояния частицы в последующие моменты времени.

Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Y(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Y|2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

(217.1) где ћ=h/(2π), м—масса частицы, D—оператор Лапласа , i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы. Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной производные должны быть непрерывны; 3) функция |Y|2 должна быть интегрируема

Физический смысл имеет только |Y|2 . Тогда

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Вопрос 44

Уравнение Шредингера. Стационарные состояния атома. Для расчета волновой функции необходимо иметь уравнение, которое позволяло бы для любого момента времени определить эту функцию с учетом действующих на частицу внешних силовых полей. Чтобы искомое уравнение учитывало волновые свойства микрочастиц, необходимо чтобы оно по форме было волновым уравнением, подобно тем, которые описывают звуковые или электромагнитные волны. Известно, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение – это дифференциальное уравнение в частных производных, где независимыми переменными являются координаты и время. Учитывая такие аналогии, австрийский физик Эрвин Шредингер получил в 1926 г. основное уравнение квантовой механики для ψ (х, у, z, t)

, (5)

где m – масса частицы, i – мнимая единица, U – потенциальная энергия частицы, Δ‑оператор Лапласа, который представляет собой сумму вторых частных производных по координатам, т.е.

Из уравнения Шредингера следует, что конкретный вид волновой функции зависит от потенциальной энергии U, т.е. определяется характером сил, действующих на частицу. Уравнение Шредингера оказалось комплексным (включающим в себя мнимую единицу), поэтому и волновая функция также комплексная, при этом реальный физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который всегда действителен.

Смысл и назначение уравнения Шредингера заключается в том, что если известна волновая функция некоторой частицы в начальный момент времени и известно силовое поле, в котором она движется, то, решив это уравнение, можно найти волновую функцию и узнать характеристики состояния частицы в последующие моменты времени.

Если силовое поле, в котором движется частица, постоянно во времени, то U не зависит от времени и волновую функцию можно представить в виде , где Е – полная энергия частицы. Если мы подставим такую функцию в уравнение Шредингера, проведем дифференцирование и сокращение, то получим уравнение

Свободные частицы — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами, и имеют только кинетическую энергию. Совокупность свободных частиц образовывает идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частичек.

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

, где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.

, где с — скорость света, в релятивистском случае.

Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенци­альная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид (219.1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция y(х) = А^еikx , где А = const и k = const, с собственным значением энергии (219.2) Функция представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4), (219.3) (здесь и ). Функция (219.3) представляет собой плоскую монохромати­ческую волну де Бройля (см. (217.2)). Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным. Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства, т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.