3. Функция распределения Бозе – Эйнштейна

Функцией распределения Бозе – Эйнштейна называется середняя "заселенность" бозонами состояний с данной энергией, то есть среднее число частиц в одном состоянии:

,

где – число частиц с энергией в интервале от до ; – число квантовых состояний в этом интервале энергий.

Для нахождения функции рассматривается термодинамическая вероятность Р распределения частиц системы по квантовым состояниям и находится самое вероятное роспределение при условии сохранения числа частиц в системе и энергии системы:

Суммирование проводится по всем квантовым состояниям системы.

Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа при отыскании условного экстремума, можно получить такое выражение для функции распределения Бозе — Эйнштейна:

,

где – среднее число частиц (бозонов) в квантовом состоянии с энергией ; – постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; – химический потенциал, который не зависит от энергии, а определяется только лишь температурой и плотностью числа частиц.

4. Функция распределения Ферми – Дирака Эта функция определяется аналогично функции распределения Бозе – Эйнштейна и имеет такой вид:

,

где – среднее число частиц (фермионов) в квантовом состоянии с энергией ; – химический потенциал, который, в отличие от химического потенциала, входящего в функцию распределения Бозе – Эйнштейна , может иметь положительное значение.

Если , то распределения Бозе – Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в классическое распределение Максвелла – Больцмана:

,

где

.

Таким образом, при высоких температурах оба "квантованных" газа ведут себя подобно классическому газу.

5. Понятие о вырождении систем частиц, описываемых квантовыми статистиками

Система частиц (в частности, идеальный газ) называется вырожденной, если ее свойства существено отличаются от свойств систем, подчиняющихся законам классической статистики. Отступлении в поведении бозе- и ферми-газов от классического максвелл-больцмановского газа называется вырождением газов (вырожденный газ). Вырождение газов становится существенным при очень низких температурах и большой плотности.

Параметром вырождения называется величина .

Температурой вырождения называется температура, ниже которой четко проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц, то есть – это температура, при которой вырождение становится существенным. Если , то поведение системы частиц (газа) описывается классическими законами.

Понятие о вырождении электронного газа в металлах

Распределение электронов по разным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно с которым в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с однаковым набором четырех квантовых чисел) электронов; они должны отличаться какой-то характеристикой, например, направлением спина. Итак, согласно квантовой теории, электроны в металле не могут размещаться на самом низком энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынужденны подниматься вверх по " энергетическим ступенькам".

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми – Дирака

,

Если – химический потенциал электронного газа при , то среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

.

Для фермионов (а электроны являються фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселения квантового состояния совпадают, поскольку квантовое состояние може быть или не заселено, или в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов , где – функция распределения электронов по состояниям.

Из выше приведенной формулы следует, что при функция распределения , если . График этой функции приведен на рис. 26.1, а. В области энергий от 0 до функция равна единице. При она скачкообразно изменяется до нуля. Это значит, что при все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей , свободны. Значит, - не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при . Эта максимальная кинетическая энергия называєтся энергиею Ферми и обозначается . Потому распределение Ферми – Дирака обычно записывается в виде

.

Рис. 26.1

Самый высокий энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми отвечает энергия Ферми , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выходу электрона из металла нужно отсчитывать не от дна "потенциальной ямы", как в классической теории, а от уровня Ферми, то есть от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не очень высоких температурах выполняется неравенство . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура вырождения определяется из условия . Она определяет предел, выше которого квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответственные расчеты показывают, что для электронов в металле , то есть для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле - вырожденный.

При температурах, отличных от , функция распределения Ферми –Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка кТ) в окрестности E_F (рис. 26.1, б). (Тут же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при .) Это объясняется тем, что при Т > 0 небольшое количество электронов с энергией, близкой к , возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше, чем . Вблизи предела Ферми при заполнение электронами меньше единицы, а при – больше нуля. В тепловом движении принимает участие только небольшое число электронов, например, при комнатной температуре и температуре вырождения , — это 10^-5 от общего числа электронов.

Если ("хвост" функции распределения), то единицей в знаменателе функции распределения Ферми –Дирака можно пренебречь в сравнении с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла – Больцмана. Таким образом, при , то есть при больших значенниях энерии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда , к ним можно применять только квантовую статистику Ферми – Дирака.