Изоморфность.
Существуют поля для любой степени простого числа. Поля из степеней простого числа изоморфны любому конечному полю из того же числа элементов. 2 поля изоморфны друг другу, если можно установить взаимооднозначное соответствие между элементами этих множеств и при этом операции для одного множества переходят в операции для другого множества (выполняется биекция).
Если отображается множество M на M1, то M – образ, а M1 – изображение.Нужно ввести некую операцию – например, «+».Применим эту операцию и получим Z. Результат от выполнения операции в M будет однозначно отображаться на результат выполнения в M1 (таблицы «+» перейдут в таблицу «+» другого множества). Если это выполнится, то будет выполняться изоморфизм.
Мультипликативная группа поля Галуа.
Вернулись из полей к группам. Поле Галуа образовано некоторой совокупностью элементов, которые могут быть рассмотрены в качестве групп.
Возьмем элемент
,
будем рассматривать его вместе со
степенями (умножать на себя). Разных
степеней элементов
должно
быть конечное число, так как по аксиоме
замкнутости мы получаем элемент группы,
а группа конечна.Значит, что после
какого-то числа повторений этой операции
мы переберем все группу. Т.е. рано или
поздно начнутся повторения
,
где 
при
.
Наименьший период повторения элементов
между 
и
называется порядком повторения. Порядоком
любого элемента
называется наименьше целое число 
такое, что
.
Если
,
то
Группа, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов – циклическая группа, а сам такой элемент – примитивный элемент или первообразный корень (генератор).
Совокупность всех степеней элемента вместе с единицей образует подгруппу конечной группы.
Порядок
для 
является делителем порядка группы
(число элементов группы), т.к. группа
содержит циклическую подгруппу из
элементов, порожденную элементом
.
Пример:Возьмем поле чисел, состоящее из остатков от деления на число 7.
Ненулевые элементы этого поля образуют мультипликативную группу.
Число\степень |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
порядок |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
4 |
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
2 |
6 |
4 |
5 |
1 |
6 |
4 |
1 |
4 |
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
1 |
5 |
4 |
6 |
2 |
3 |
1 |
6 |
6 |
1 |
6 |
1 |
6 |
1 |
6 |
1 |
2 |
Последний столбец – порядок, при котором возникает максимальное значениепериода.
Порядки элементов – 1,2,3 и 6, а количество ненулевых элементов = 6. Т.е. все порядки элементов являются делителем порядка группы.
Первообразные элементы – 3 и 5, т.к. там встречаются все элементы.