Кольца.

Кольцо R (Ring) – множество элементов, на котором определены 2 операции:

1. Сложение:

2. Умножение:

Обозначения применяются даже в случае, если эти операции таковыми не являются.

Для того, чтобы множество было кольцом, необходимо выполнение аксиом:

1. R1. Множество R – аддитивная Абелева группа (коммутативная группа относительно сложения). .

2. R2. Замкнутость – для любых a и b для R определено их произведение , которое является элементом R. принадлежит R.

3. R3. Ассоциативнсть.

4. R4. Дистрибутивность.

Два уравнения, поскольку нет коммутативности.Кольцо называется коммутативным, Если операция умножения также коммутативна.

Теорема R1.

В любом кольце для любых элементов и справедливо:

1. 

2. . Здесь «–» – взятие обратного элемента.

Доказательство:

1. .

. |Добавим обратный элемент в обе части равенства

.

. =>

2. .

.

. |

.

.

.

Пример колец:

1. Действительные числа образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Коммутативны оба кольца.

2. Все положительные и отрицательные целые числа вместе с нулем. Коммутативно.

3. {0} – множество из одного нуля. .

4. Кольца из двух элементов. Один из них придется назвать нулем, т.к. должен быть единичный элемент относительно сложения. Второй элемент такой, что .Нужно определить элемент . Возможны 2 способа (оба варианта подходят):

   1. 

   2. 

5. Совокупность целых чисел по модулю q. Остатки от деления на число q. Вместо любого числа можно взять остаток от деления на число q.

Поля.

Поле F (Field) – коммутативное кольцо с единичным элементом относительно умножения (единичным мультипликативным элементом кольца), в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент. Обе операции имеют обратные (вычитание и деление).

Примечание:Ненулевые элементы поля образуют группу по умножению.

Примеры полей:

1. Действительные или целые числа.

2. Рациональные числа .

3. Комплексные числа .

Бывают поля с конечным числом элементов. С одним элементом сделать ничего нельзя. Наименьшее число возможных элементов – это 2.

Таблицы для сложения и умножения по модулю 2 (поле из двух элементов):

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

* 0 1 0 0 0 1 0 1

Таблицы для сложения и умножения по модулю 3:

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

* 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

Для четырех элементов:

+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 3 2 2 2 3 0 1 3 3 2 1 0

* 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 3 1 3 0 3 1 2

Утверждения относительно полей:

1. Для какого числа элементов можно получить поля? Для любого числа , являющегося степенью простого числа , существует поле из элементов. Такое поле не может быть построено из остатков деления на .

2. Поле с p элементами, где – простое число (primitive), можно получить из совокупности целых чисел с операциями по модулю (остатки от деления числа на ).

3. Если число p не будет простым, то из совокупности чисел, являющихся остатками от деления на , поле построить нельзя. Это происходит из-за нарушения единственности обратного элемента (если не простое), то у некоторых элементов может не быть обратного элемента, а у некоторых быть несколько.