Поля галуа.

Теорема: пусть p(x) – многочлен с коэффициентами из поля F (т.е. является многочленом над полем X). Алгебра многочленов по модулю p(x) является полем тогда и только тогда, когда p(x) неприводим в поле F, т.е. p(x) нельзя представить в виде произведения многочленов с коэффициентами из поля F.

Доказательство аналогично теореме по модулю числа p.

Поле, образованное над многочленами F(x) – расширение поля степени k над F, которое называют первоначальным или основным полем.

F – поле коэффициентов (основное, первоначальное). Когда из него делают новое поле по модулю многочленов неприводимого поля, то это поле в свою очередь является расширением. Новое поле содержит классы вычетов, соответствующие элементам основного поля. А почему так? Потому что основное поле содержится в полиномах степени 0 (чистые коэффициентов). Если там есть классы вычетов этого поля F, то они содержатся и в классах вычетов расширения.

Поскольку в новом поле p(x) = 0, то корень многочлена p(x) принадлежит нашему основному полю F и при этом образуется присоединением корня уравнения p(x) = 0 к основному полю.

Классы вычетов образуют поле из p элементов – поле Галуа (простое поле). Можно показать по аналогии с простым полем, что кольцо многочленов над любым полем содержит по крайней мере один неприводимый полином.

Поле Галуа для полиномов.

Берем элементы и его степени. – порядок элемента G. Совокупность степеней элемента G и 1 образуют подгруппу конечной группы.

Группа, состоящая из всех степеней одного ее элемента – циклическая.

Порядок является делителем порядка группы.

Теорема: Совокупность корней многочлена является совокупностью всех ненулевых элементов поля GF(q).

Доказательство: Эти ненулевые элементы образуют группу. Порядок каждого элемента является делителем каждого элемента. Следовательно, каждый из q-1элементов, умноженный (порядок) раз сам на себя даст единицу. А умноженный (q-1) раз даст 1^k и следовательно, каждый из (q-1) элементов является корнем уравнения .

Но это уравнение имеет не более, чем (q-1) различных корней, а следовательно, не может быть еще хотя бы одного корня.

GF(p^m) – состоит из p^m элементов.

Следовательно, для любого числа q ( ) существует поле GF(q) от q элементов. Т.е. степень простого числа – это характеристика поля от p.

И может быть последнее (как любопытство): в поле характеристики p имеет место теорема:

.

В том числе для поля 1. P выскочит в виде сомножителях в коэффициентах. А все числа, кратные p по определению равны нулю.

Теорема: многочлен делится на когда n делится на m.

Основная теорема: В поле GF(q) существует примитивный элемент , то есть элемент порядка q-1. Каждый ненулевой элемент поля GF(q) может быть представлен как некоторая степень , то есть мультипликативная группа поля GF(q) является циклической.

Пример. Рассмотрим поле Галуа: GF(2⁴) из 2⁴ элементов.

Будем брать полиномы по модулю полинома .У этого многочлена есть 4 корня, есть корень f(x)=0.

Предположим, что мы знаем какой-то из корней. Пустьa–корень полинома. Пусть этот корень является примитивным элементов полинома, т.е. .

Будем искать степени числа a по mod 2:

1. (0001)

2. а¹ = 0+0+а+0 (0010)

3. а² = 0+а²+0+0 (0100)

4. а³ = а³+0+0+0 (1000)

5. а⁴=0+0+а+1 (0011)

будет получаться уже произведением на а. то есть а⁴ = а+1.

-1 mod 7=6

6. а⁵ = 0+а²+а+0 (0110)

7. а⁶ = а³+а²+0+0 (1100)

8. а⁷ = а³+0+а+1 (1011)

9. а⁸ = 0+а²+0+1 (0101)

10. а⁹= (1010)

11. а¹⁰= (0111)

12. а¹¹= (1110)

13. а¹²= (1111)

14. а¹³= (1101)

15. а¹⁴= (1001)

16. а¹⁵ = 0+0+0+0+1(0001)

17. а¹⁶ = 0+0+0+a+0 (0010). Повторяется, т.е. прошел цикл.

Порядок элемента = 15.

то есть в поле Галуа если а – корень уравнения, а такой полином является примитивным, то при нахождении корня а и возведении его в степень мы получаем все ненулевые элемнеты, образующие циклическую группу. a – корень многочлена x⁴+x+1=0 и является примитивным элементом поля.