Средства и методы защиты информации.

Петренко Юрий Ильич.

Contents

Введение в высшую алгебру. 3

Группы. 3

Кольца. 7

Поля. 8

Подгруппыи смежные классы. 9

Идеалы и классы вычетов. 11

Классы вычетов. 11

Идеалы и классы вычетов целых чисел. 12

Изоморфность. 14

Мультипликативная группа поля Галуа. 14

Основные положения теории чисел 15

Теорема Ферма. 16

Функция Эйлера. 16

Теорема Эйлера. 17

Классификация методов шифрования. 17

Пример обмена информацией по методу Эль-гамаля. 18

Алгоритм обмена сообщениями по Эль-гамалю (модификация дифи). 18

Алгоритм RSA 19

Алгоритм Диффи-Хеллмана. Открытое распределение ключей. 20

Вычислительные алгоритмы для криптологии. 21

Алгоритм Евклида. 21

Расширенный алгоритм Евклида. 22

Модульные алгоритмы. 22

Модульное возведение в степень. 22

Нахождение числа, обратного по модулю. 23

Двоичный алгоритм Евклида. 23

Парадокс дней рождения. 24

Факторизация. 24

Вычисление числа по его вычетам. 25

Поиск простых чисел. 25

Тест Миллера-Рабина на простоту. 25

Вычисление длины периода последовательности (метод Флойда) 26

Полиномы. 27

Алгебра классов вычетов многочленов. 28

Поля галуа. 30

Поле Галуа для полиномов. 30

Свойства неприводимых многочленов. 32

Линейные переключательные схемы. 32

Схема умножения полиномов на регистрах: 33

Схема деления полиномов с помощью регистров. 33

CRС. 34

АлгоритмCRC: 34

Наиболее популярные магические полиномы: 34

Выбор полинома. 35

Типы ошибок: 35

Генераторы случайных последовательностей. 36

Постулаты случайности последовательностей Голомба. 37

Регистр с обратной связью. 38

Шифрование при помощи случайной последовательности (гамма-последовательности). 39

Потоковые шифры. 39

Генератор Греффе. 40

Генератор с нелинейным фильтром. 40

Сжимающий генератор. 40

Система блочного шифрования. 41

Информационная безопасность. 42

Подотчетность. 44

Гарантированность. 44

Лекция 1 (12 февраля 2010).

Лекция 2 (19 февраля 2010).

Лекция 3 (26 февраля 2010).

Лекция 4 (05 марта 2010).

Лекция 5 (12 марта 2010).

Лекция 6 (19 марта 2010).

Лекция 9 (09 апреля 2010).

Лекция 10 (16 апреля 2010).

Лекция 11 (23 апреля 2010).

Лекция 14 (14 мая 2010).

Лекция 15 (21 мая 2010).

Введение в высшую алгебру.

Элементы – малые латинские буквы. Группы – большие.

Теория чисел – часть высшей алгебры, изучающая алгебраические системы.

Алгебраические системы – системы, подчиняющиеся определенным правилам или законам.

1. Группа – это система, в которой задано непустое множество элементов и для них могут быть заданы основная операция и операция, ей обратная: сложение и вычитание, сложение и деление.

2. Кольцо – определены 2 основные операции – сложение и умножение, и операция, обратная первой – вычитание. Операции, обратное второй нет.

3. Поле– определены 2 основные операции и для каждой из них могут быть заданы обратные операции.

Операция – функция двух переменных, которую обозначают как сложение, так и умножение и записывается в виде (аддитивная группа) или (мультипликативная группа). Хотя эта операция может и не быть арифметическим сложением или умножением. Это таблица, где двум элементам ставится в соответствие третий. Обычно, если не оговорено особо, термин сложение используют для коммутативной групповой операции, а умножение по умолчанию не коммутативно (перестановочно).

Группы.

Группа G – совокупность объектов или элементов, для которых определена некоторая операция и выполнены 4 аксиомы:

1. G1. Замкнутость – результатом операции над любыми двумя элементами группы является элемент группы.

2. G2. Ассоциативность – для любых 3 элементов группы выполняется соотношение .

3. G3. Наличие единичного элемента.

Для операции сложения – это 0, который определяется из уравнения и оно выполняется для всех элементов группы.

Для умножения – это 1: .

4. G4. Наличие обратного элемента.

Для сложения это –a, причем .

Для умножения это элемент a^-1, причем .

Если помимо этого выполняется коммутативность, т.е. , то группа называется коммутативной или Абелевой.

ТеоремаG1:Группа G обладает единственным единичным элементом и каждый элемент группы имеет единственный обратный элемент.

Доказательство:

Пусть существует 2 единичных элемента и . Тогда . Т.е. если мы будет умножать первый на единичный, то мы получим его же. Так же со вторым элементов. Т.е. если есть 2 единичных элемента, то они равны.

Пусть к элементу gсуществует 2 обратных элемента g1 и g2.

.

т.е. заменяем и . В итоге .

Замечание:

Обратный элемент произведения равен произведению обратных элементов в обратном порядке.

Доказательство:

Если у произведения есть обратный элемент и он равен произведению обратных элементов в обратном порядке, то произведение равно 1.

.

Конструктивное понятие группы. Группа – это некий набор из n элементов, при этом элементы хоть как-то упорядочены (порядок имеет значение).Если взять некий порождающий элемент, то относительно него можно сказать, что все остальные расположены в каком-то порядке.

Есть некая операция, которую надо задать. Групповая операция – в общем виде это таблица элементов с двумя входами и для каждых входов нужно написать результат. Строка – женщина, поэтому ее пропускают вперед, а столбец – мужик.

Всего возможных таблиц, т.к. в любую клетку можно записать элементов.Но подходит не всякая таблица, поскольку вид этой таблицы ограничен аксиомами. В таблицу согласно аксиоме G1 нужно помещать только элементы группы. По G3 существует единичный элемент - будут одинаковыми два левых столбца и 2 верхних строчки.

По G4 в каждой строчке и в каждом столбце должен находиться единичный элемент, объединяющий 2 взаимно обратных элемента. Никакой элемент группы в строке не может повторяться.

По аксиоме G2 наиболее сокращает количество подходящих таблиц. (???)

Получаем таблицы, именуемые «латинские квадраты».Это квадратная матрица , заполненная различными элементамитаким образом, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы встречаются все символов ровно по 1 разу. Существуют для любого .

Пример латинских квадратов:

1

1 2 2 1

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1

1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3

Задачу отыскание таких квадратов впервые сформулировал Леонард Эйлер: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 х 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?». Доказано, что решения не существует.

Несколько другой тип - «магические квадраты». Это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.Пример для :

13	8	12	1
2	11	7	14
3	10	6	15
16	5	9	4

16 клеток, числа от 1 до 16. Сумма чисел в каждом горизонтальном, вертикальном ряду и диагонали одна и та же (34).

Магических квадратов 2х2 нет. Для 3х3 есть единственный (остальные можно получить либо поворотом, либо отражением относительно оси симметрии). Для 4х4 их 880, для 5х5 – четверть миллиона.

Примеры групп:

1. Совокупность всех действительных чисел с операцией сложения.

2. Совокупность всех положительных и отрицательных чисел с нулем и операцией сложения.

3. Абелева группа из одного элемента – 1 для умножения и 0 для сложения.

4. Из двух элементов – 0 и 1. Для такой группы можно задать операцию сложения:

0 1 0 0 1 1 1 0

Таблица Кэли (Cayley). Таблица операций или операционная таблица. Это операция xor.

Математики рассматривают не группы, а функциональные преобразования пространства.

Если преобразование в пространстве обладает обратным и результат преобразования является преобразованием этого же вида, использование преобразования, и последовательно ему обратного дают тождественное преобразование и если дря трех преобразований выполняется ассоциативный закон, то такие преобразования являются группой преобразований (операции образуют группу).

Можно выделить непрерывные преобразования пространства (не с целочисленными координатами пространства).

Пусть – множество точек плоскости. Преобразование – движение плоскости, если для каждой пары точек xи yиз множества М расстояние между точками образа и равно расстоянию между точками отображения и .

Преобразование плоскости проективное, если точки, лежащие на одной прямой переходят в точки так же лежащие на одной прямой.

Частным случаем проективного преобразования является афинное преобразование, при котором параллельные прямые переходят в параллельные. (???)

Эвклид рассматривал те свойства плоскости, которые не меняются при движении – элементарная геометрия.

Группа линейных преобразований – определяются умножением вектора на матрицу. Среди линейных преобразований можно выделить группу преобразований, которые сохраняют расстояние между точками. Это будет группа ортогональных преобразований.

Группа симметрии – каждой геометрической фигуре сопоставляется совокупность всех преобразований, совмещающих данную фигуру с нею самой.

Это будет группа относительно последовательного применения преобразования. Эта группа характеризует симметричность фигуры.

Федоров в 1890 году решил задачу правильной классификации пространственных точек. Использовались труды для классификации в кристаллографии. Существует всего 17 плоских федоровских групп– были найдены непосредственно. Пространственных кристаллов может быть уже 230. Применяется в кристаллографии.

Пример для плоской фигуры. Преобразование пространства Рассмотрим все линейные преобразования плоскости, которые переводят квадрат в самого себя. Квадрат с углами ABCD можно поворачивать на 90⁰, либо переворачивать:

A B D C

Преобразования: 1 = ABCD –>ABCD единичное преобразование a = ABCD –>DABC b = ABCD –>CDAB c = ABCD –>BCDA d = ABCD –>BADC e = ABCD –>ADCB f = ABCD –>DCBA g = ABCD –>CBAD

Исходный квадрат.	Преобразование а.	Последовательное преобразование а = преобразованию b к исходному квадрату. => .
A B D C	D A C B	C D B A

Если взять не квадрат, а прямоугольник, то преобразований будет всего 4. Поэтому количество преобразований зависит от осей симметрии.

Единичное преобразование мультипликативное, поэтому группа некоммутативна.В данном случае умножение – результат применения двух из этих преобразований. Получаем таблицу умножения:

	1	a	b	c	d	e	f	g
1	1	a	b	c	d	e	f	g
a	a	b	c	1	e	f	g	d
b	b	c	1	a	f	g	d	e
c	c	1	a	b	g	d	e	f
d	d	g	f	e	1	c	b	a
e	e	d	g	f	a	1	c	b
f	f	e	d	g	b	a	1	c
g	g	f	e	d	c	b	a	1

Видно, что у каждого элемента есть обратный: единица объединяет 2 взаимнообратных элемента.

Можно проверить, что это группа – по всем четырем аксиомам все сходится – есть обратный элемент, видно, что все элементы в каждой строке и каждом столбце присутствуют.

Матрица нессиметрична относительно главной диагонали, операция некоммутативна.

Ассоциативный закон – все варианты из сочетания двух операций над тремя переменными с разным расположением скобок проверять долго даже на машине.