Окончание курса лекций по «ДМиОК»

В большинстве отраслей машино– и приборостроения за последние десятилетия сложилась последовательность основных этапов разработки технических устройств, в которой начальный объем необходимой информации формировался путем так называемых проектировочных расчетов, степень достоверности которых могла обеспечивать лишь довольно грубый отбор вариантов решения. Основная часть информации (как по степени подробности, так и по уровню достоверности), необходимая для принятия окончательного решения, формировалась на стадии экспериментальной отработки технических устройств. По мере усложнения, удорожания и удлинения стадии экспериментальной отработки значимость проектировочных расчетов стала расти. Для более обоснованного отбора альтернатив на начальной стадии проектирования и формулировки количественных критериев для структурной и параметрической оптимизации возникла необходимость в повышении достоверности проектировочных расчетов.

Развитие сверхзвуковой авиации, возникновение ракетно-космической техники, ядерной энергетики и других, быстро развивающихся наукоемких отраслей современного машиностроения и приборостроения, привело к дальнейшему усложнению разрабатываемых и эксплуатируемых технических устройств и систем. Их экспериментальная отработка стала требовать все больше времени и материальных ресурсов. В этих условиях (когда в ряде случаев проведение в полном объеме экспериментальной отработки превратилось в проблему, не имеющую приемлемого решения) существенно выросла роль расчетно-теоретического анализа характеристик таких устройств и систем. Этому способствовал и прорыв в совершенствовании вычислительной техники. В результате возникла материальная база для становления и быстрого развития математического моделирования, что создало, в свою очередь, реальные предпосылки для использования вычислительного эксперимента не только в качестве расчетно-теоретического сопровождения на стадии отработки технического устройства в целях уточнения принятых ранее конструктивных решений. Появилась возможность реального использования вычислительного эксперимента и при проектировании технического устройства, подборе и оптимизации эксплуатационных режимов, анализе надежности и прогнозировании отказов и аварийных ситуаций, при оценке возможностей его форсирования и модернизации.

В настоящее время методология математического моделирования и вычислительного эксперимента (МММиВЭ) стала составной частью общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Практическая реализация МММиВЭ существенно повышает эффективность инженерных разработок, позволяя сократить затраты времени и средств на использование в технике передовых достижений физики, химии, механики и др. фундаментальных наук особенно при создании принципиально новых, не имеющих аналогов машин и приборов, материалов и технологий.

При этом очень часто возникает необходимость моделирования процессов, протекающих в системах с непрерывно распределенными параметрами (континуальных системах), когда необходима информация о распределении в пространстве и изменении во времени таких параметров, как температура, давление, перемещения и деформации, механические напряжения, скорость, электрический потенциал, напряженность электрического или магнитного поля и т.п. Эта информация является определяющей при разработке и оптимизации технологических и рабочих процессов в энергетических установках, при анализе процессов деформирования и динамики конструкций машин и механизмов, процессов взаимодействия среды с электромагнитными полями в приборных устройствах.

Последовательность этапов математического моделирования в континуальных системах.

Сутью используемых в технической литературе терминов «математическое моделирование» и «вычислительный эксперимент» является адекватная замена реального технического объекта или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение (экспериментирование с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно – логических алгоритмов. Для обоснования и обсуждения основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических объектов целесообразно рассмотреть предварительно условную схему, определяющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента.

Технический

объект

I

Рабочая

схема

II

Математическая

модель

Упрощенный

III вариант

модели

Рабочая мате-

математическая модель

IV

Алгоритмы

V

Программы VI

VII

Практические

Рекомендации

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) технического объекта к его расчетной схеме. При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности объекта, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в расчетной схеме, и наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в расчетной схеме те качества объекта, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. В сложившихся инженерных дисциплинах помимо описательной (вербальной) информации для характеристики расчетных схем разработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения.

Содержание второго этапа состоит, по существу, в формальном, математическом описании расчетной схемы и построении математической модели технического объекта. Математическая модель в формализованном виде представляет собой совокупность соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими расчетную схему технического объекта. Отметим, что для некоторых типовых расчетных схем существуют банки математических моделей, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же математическая модель может соответствовать расчетным схемам из различных предметных областей. Однако, при разработке новых технических объектов часто не удается ограничиться применением типовых расчетных схем и отвечающих им уже построенных математических моделей. Создание новых моделей или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком науки.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной математической модели. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра расчетной схемы объекта (штриховая линия на рисунке). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторов учтено в расчетной схеме. В большинстве случаев полезно построить хотя бы один упрощенный вариант математической модели, позволяющий получить или привлечь известное точное решение, которое затем можно было бы использовать в качестве эталонного при тестировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить иерархию математических для одного и того же технического объекта, отличающихся различным уровнем упрощения. Итог анализа на этом этапе – это обоснованный выбор рабочей модели технического объекта, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении третьего этапа зависит от глубины понимания связи отдельных составляющих математической модели со свойствами технического объекта, нашедшими отражение в его расчетной схеме, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа математической модели, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый – в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики, а при математическом моделировании достаточно сложных технических объектов выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования.

Получаемые на шестом этапе в итоге работы программ результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта математической модели рассматриваемого технического объекта. Тестирование может выявить недочеты как в программе. Так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке расчетной схемы и соответствующей математической модели. После устранения всех выявленных недочетов триаду «модель – алгоритм – программа» можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование технического объекта, что составляет содержание седьмого, завершающего «технологический цикл», этапа математического моделирования.

В некоторых конкретных случаях представленная последовательность может несколько видоизменяться. Если при разработке технического объекта можно использовать типовые расчетные схемы и математические модели, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии соответствующего программного комплекса процесс математического моделирования становится в значительной степени автоматизированным.

Выполнение перечисленных этапов требует определенных знаний, навыков и фактической подготовки. Первый, седьмой и частично шестой этапы типичны для амплуа инженера, а второй, третий и четвертый этапы требуют серьезной математической подготовки, а пятый – навыков в разработке и отладке ЭВМ – программ.