9. Спектральные тесты.

Под этим термином понимаются тесты, основанные на преобразовании Фурье (спектре Фурье) исследуемых последовательностей.

Рассмотрим спектральный тест для выявления скрытой периодичности в исследуемой последовательности .

Определим гипотезу H₀: – равномерно распределенная случайная последовательность с нулевым средним и дисперсией и альтернативу H₁ о наличии скрытой периодичности с некоторым неизвестным периодом T₀, , и соответствующей частотой :

Где – периодический тренд с некоторым неизвестным коэффициентами {a_k, b_k}; – параметр тренда, определяющий количество гармоник с частотами, кратными основной исследуемой частоте ω₀.

Если исследуется «чисто гармонический» тренд с единственной частотой ω₀, то полагаем . Далее предполагается, что n кратно T₀, что не является существенным ограничением, если n достаточно велико.

Определим конечное множество частот

и дискретное преобразование Фурье временного ряда на частоте ( -мнимая единица):

(9.2)

Для обнаружения скрытой периодичности строится специальная статистика – гистограмма:

(9.3)

Оказывается, если верна гипотеза H₀, то при и известной дисперсии σ² статистика (9.3) имеет асимптотически – распределение с 2k степенями свободы [s]:

(9.4)

По теореме Муавра­ – Лапласа при и истинной гипотезе

(9.8)

Поэтому критерий согласия для гипотезы при уровне значимости α асимптотически имеет вид:

принимается , (9.9)

где – стандартная нормальная функция распределения.

Отметим, что – параметр постоянного семейства решающих правил (9.5) – (9.9).

Еще один спектральный тест, также основанный на асимптотическом (при ) поведение статистики , определенных в (9.5), можно построить с использованием критерия Колмогорова. Для этого по выборке построим эмпирическую функцию распределения

и вычислим расстояние Колмогорова между :

(9.10)

Критерий Колмогорова, основанный на статистике (9.10), имеет вид:

H₀ принимается , (9.11)

где - квантиль уровня распределения Колмогорова. Приведем некоторые значения функций :

Уровень значимости ɛ	0,01	0,05	0,10	0,20
Квантиль	1,63	1,36	1,22	1,07

Соотношения (9.1) – (9.4) позволяет построить следующий алгоритм статистического обнаружения периодичности и оценивания периода T₀:

1. Вычисляется максимум гармограммы:

2. Выбор между гипотезами и осуществляется с помощью решающего правила:

где ^L и - заданный уровень значимости.

3. Если принята гипотеза , то выполняются статистические оценки частоты и периода:

Построим семейство спектральных тестов, основанных на асимптотическом свойстве (9.4) при . Согласно (9.2) и (9.3) построим последовательность значений выборочной спектральной плотности (периодограммы):

(9.5)

(здесь предполагается, что – четно).

Известно [s], что если верна гипотеза , то определяемые (9.5) случайные величины при асимптотически независимы и одинаково распределены по закону .

Зададим некоторое число и построим последовательность двоичных случайных величин

(9.6)

Тогда гипотеза трансформируется в гипотезу : – случайная выборка из распределения Бернулли , p = F₂(c). Для проверки этой гипотезы можно построить тест, основанный на статистике

(9.7)