Поняття функції багатьох змінних. Частинні похідні

Нехай кожній впорядкованій парі чисел (x, y) із деякої області D відповідає деяке число . Тоді z називається функцією двох змінних; x та y – незалежними змінними, D – областю визначення функції, Е – областю значень функції. Позначається функція двох змінних у вигляді рівності . Аналогічно можна ввести поняття функції трьох змінних .

Частинною похідною від функції u по змінній називається границя

.

Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної , вважаючи решту аргументів сталими. Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні від функції u по кожному з решти її аргументів.

Похідна за напрямком. Градієнт функції

Нехай задані ненульовий вектор і функція , визначена в околі точки . Нехай точка М – рухома точка простору, така що вектор має той самий напрямок, що й вектор . Довжина вектора . Якщо існує границя , то вона називається похідною функції в точці за напрямком . Похідна за напрямком обчислюється за формулою

,

де – напрямні косинуси вектора .

Градієнтом функції називається вектор, координати якого у базисі є частинними похідними функції , тобто

.

Дотична площина і нормаль до поверхні

Нехай поверхня задана рівнянням і задана точка , що належить їй. Тоді дотична площина до поверхні в точці визначається рівнянням

.

Нормаль до поверхні в точці (пряма, що проходить через точку М перпендикулярно до дотичної площини) визначається рівнянням

.

Приклад. Знайти похідну функції за напрямком вектора та градієнт у заданій точці .

,

,

.

Розв’язання. Обчислимо значення частинних похідних у точці .

, ,

, ,

, .

Напрямні косинуси вектора наступні

, , .

Отже, отримаємо похідну функції за напрямком вектора у заданій точці :

.

Градієнт функції у точці :

.

Диференціальні рівняння Диференціальні рівняння першого порядку

Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, що пов’язує незалежну змінну, шукану функцію і похідну цієї функції. У загальному вигляді диференціальне рівняння першого порядку можна записати: .

Розв’язком диференціального рівняння називається така диференційована функція , яка при підстановці у рівняння замість невідомої функції перетворює його на тотожність.

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку в області D називається функція , яка задовольняє наступні умови: 1) вона є розв’язком даного рівняння для будь-яких значень довільної сталої ; 2) для довільної початкової умови такої, що , існує таке значення , при якому розв’язок задовольняє заданій початковій умові.

Будь-який розв’язок , що отримується із загального розв’язку при конкретному значенні , називається частинним розв’язком.

Задача, в якій потрібно знайти частинний розв’язок рівняння , що задовольняє початкову умову , називається задачею Коші.

Рівняння виду є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Щоб розв'язати це рівняння потрібно спочатку замінити на , тобто і відокремити змінні: . Після інтегрування отримаємо розв’язок у вигляді

.

Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

.

Розв’язання. Це рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:

.

Інтегруємо обидві частини отриманої рівності

,

,

,

– загальний розв’язок рівняння.

Рівняння виду , де функція задовольняє умові для довільного числа , є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку. Таке рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними підстановкою

.

Приклад. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

,

Виділимо : .

Для правої частини рівняння виконується . Отже, задане рівняння є однорідним. Тому використаємо підстановку , де , .

,

,

.

Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними.

,

,

, ,

– загальний розв’язок вихідного рівняння.

Рівняння виду є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Розв'язок цього рівняння шукають у вигляді добутку , де ─ невідомі функції, причому одну з цих функцій вибирають довільно (але не рівну тотожно нулю), а іншу шукаємо із рівняння. Аналогічно розв’язується рівняння Бернуллі , .

Приклад. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє задану початкову умову.

, .

Розв’язання. Поділимо обидві частини рівняння на .

– лінійне рівняння першого порядку. Розв’язуємо його за допомогою підстановки , .

,

. (1)

Функцію знаходимо з умови .

,

,

.

Підставляємо отриманий вираз в (1):

.

Відокремимо змінні:

.

Проінтегруємо обидві частини ріняння:

.

Отже, – загальний розв’язок рівняння.

Щоб знайти частинний розв’язок рівняння, потрібно знайти С, підставивши початкову умову у загальний розв’язок.

, .

Отже, частинний розв’язок даного рівняння має вигляд

.