Экстремум функции двух переменных

Мы рассмотрим это понятие только в применении к функции двух переменных. Пусть функция двух переменных задана в некоторой области G.

Введем следующие определения.

Определение.

Функция двух переменных имеет в точке области G максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от ,выполняется неравенство

Определение.

Функция двух переменных имеет в точке области G минимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от ,выполняется неравенство Точка , в которой функция имеет максимум (или минимум),

называется точкой максимума (или минимума). Существует общее название для максимума и минимума - экстремум.

Теорема (необходимый признак существования экстремума).

Если есть точка экстремума функции , то и в предположении, что указанные частные производные существуют в точке .

Частная производная функции по в точке есть производная функции одной переменной в точке .

Но в этой точке функция имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, . Так как то

Аналогично можно показать, что Теорема доказана.

Таким образом, обращение в нуль в точке частных производных первого порядка функции (если они существуют) является необходимым условием существования в точке экстремума этой функции.

Заметим, что функция имеет экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Например, функция очевидно, имеет минимум в точке но не имеет в этой точке частных производных.

Точки, в которых первые частные производные и функции обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Из изложенного выше следует, что точки экстремума функции находятся среди ее критических точек. Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума.

Например, рассмотрим функцию

Первые частные производные этой функции и обращаются в нуль в точке . Следовательно, эта точка является критической. Однако экстремума в ней точка не имеет. В самом деле, но в любой окрестности точки имеются как положительные (в точках, принадлежащих 1 и 3 четвертям), так и отрицательные (в точках, принадлежащих 2 и 4 четвертям) значения функции .

у

0 х

Рассмотренный пример показывает, что необходимый признак существования экстремума не является достаточным признаком.

Достаточным условием наличия экстремума в критической точке является условие причем в случае есть точка максимума, а в случае - точка минимума. Условие является достаточным для отсутствия экстремума в критической точке . В случае точка может быть, а может и не быть точкой экстремума (сомнительный случай). В этом случае необходимы дополнительные исследования.

Пример.

1)Найти экстремумы функции

Находим первые частные производные: , .

Приравнивая эти производные нулю, получим

.

Решая эту систему, находим четыре критические точки:

, , , .

Теперь найдем вторые частные производные

, , и составим выражение

.

Убеждаемся, что

1. > 0, > 0, - точка минимума;

2. < 0, в точке экстремума нет;

3. < 0, в точке экстремума нет;

4. > 0, < 0, - точка максимума.

Итак, данная функция имеет два экстремума:

в точке - минимум , в точке - максимум

.

2)Найти экстремум функции при .

Находим первые частные производные: , .

П риравнивая эти производные нулю, получим

= 0

= 0.

Вычитая из первого уравнения второе, получим ,отсюда, учитывая условие задачи, имеем .

Тогда, после подстановки, получим уравнение .Преобразуем его в следующее уравнение : . Отсюда следует, , и соответственно .

Первая точка ( , ) не входит в заданную область, вторая точка ( , ) входит в заданную область и она является критической.

Теперь найдем вторые частные производные

, , и составим выражение

.

и , следовательно, точка ( , ) является точкой максимума.

Условный экстремум

Условный экстремум для функции возникает тогда, когда переменные х и у связаны уравнением . В этом случае составляем вспомогательную функцию .

Координаты экстремальной точки должны удовлетворять трем уравнениям:

,

Из которых и находятся