Примеры
1.
Вычислить приближенно с помощью полного
дифференциала
.
Рассмотрим
функцию
.
Применяя
формула (2) к этой функции, получим
Положим
теперь
тогда
Следовательно,
2.
Вычислить приближенно
.
Дифференцирование сложных функций
Пусть
дана функция
,
причем
Будем
предполагать, что функции
имеют производные в точке
,
функция
в соответствующей точке
дифференцируема.
Пусть
независимая переменная
получает приращение
;
тогда переменные
и
получат соответствующие приращения
и
,
а функция
приращение
.
Тогда
.
( 3 )
Разделим
обе части равенства (3) на
и переходя к пределу при
получим
.
(4)
Если
существует каждый из пределов, стоящих
а правой части то, существует и предел,
стоящий в правой части этого равенства,
т.е. производная
.
Но
и
существуют по предположению.
Найдем
,
так как
,
а
.
Учитывая это, формулу ( 4 ) можно записать в следующем виде
.
(5)
Пример.
Найти
производную
,
если
.
,
,
,
.
Применяя формулу ( 5 ), получим
=
.
Рассмотрим
теперь функцию
при условии, что
.
Тогда
.
Пример.
Найти
,
где
,
,
.
Предположим
теперь, что
,
причем
,
тогда из формулы ( 5 ) получим:
аналогично,
.
( 6 )
Пример.
Найти
и
,
где
.
=
,
=
,
,
,
,
.
=
,
.
Инвариантность формы полного дифференциала
Как
известно, для дифференциала функции
одной переменной
имеет место инвариантность его формы.
Это значит, что выражение для дифференциала
остается верным независимо от того,
является
независимой переменной или функцией
некоторой переменной:
.
Для функции нескольких переменных справедливо аналогичное утверждение.
Для доказательства ограничимся функцией двух переменных .
Как известно, полный дифференциал имеет следующий вид:
.
Покажем,
что эта форма дифференциала сохраняется,
когда
и
становятся функциями новых переменных:
Тогда
является сложной функцией
.
Дифференциал этой сложной функции
выражается формулой
.
Но
по формулам ( 6 )
.
Следовательно,
=
.
Так как
,
а
.
Что и требовалось доказать.
Дифференцирование неявных функций
Неявная
функция
аргумента
задается
уравнением
не разрешенным относительно
.
Теорема существования неявной функции
Если
функция
и ее частные производные
и
определены и непрерывны в некоторой в
некоторой окрестности точки
и
при этом
,
а
,
то уравнение
определяет в некоторой окрестности
точки
единственную неявную функцию
,
непрерывную и дифференцируемую в
некотором интервале, содержащем точку
,
причем
.
Пусть
левая часть уравнения
удовлетворяет указанным в теореме
условиям. Тогда это уравнение определяет
неявную функцию
,
для которой в окрестности точки
имеет место тождество
относительно
.
Так
как производная функции, тождественно
равной нулю, также равна нулю, то полная
производная
,
откуда
По этой формуле находится производная
неявной функции.
Пример.
Найти
производную неявной функции
,
заданной уравнением: 1)
.
Введем
обозначение
=
Тогда
Следовательно,
.
2)
.
,
Следовательно,
.
Производная по направлению
Определение.
Скалярным
полем называется часть пространства,
каждой точке Р которой соответствует
численное значение некоторой скалярной
величины
.
Иными словами, величина
рассматривается как функция точки Р:
.
Эта функция называется функцией поля.