Розділ 2 математична модель задачі дослідження

2.1. Вибір методу рішення задачі дослідження

Транспортна задача є задачею лінійного програмування, яку можна розв’язати симплекс-методом. Але специфічна структура транспортної задачі дає змогу використовувати для її розв’язування ефективніший метод, який повторює, по суті, кроки симплекс-алгоритму. Таким є метод потенціалів.

Як і під час розв'язання задачі лінійного програмування, симплексним методом, визначення оптимального плану транспортної задачі починають із знаходження якого-небудь її опорного плану.

Для знаходженні опорного плану транспортної задачі використовують декілька методів: метод північно-західного, метод мінімального елемента, метод апроксимації Фогеля. Методом північно-західного кута на кожному кроці розглядають перший з решти пунктів відправлення і перший з решти пунктів призначення. Заповнення клітин таблиці умов починаються з лівої верхньої клітини для невідомого ( «північно-західний кут») і закінчується клітиною для невідомого , тобто йде як би по діагоналі таблиці.

Суть методу мінімального елемента і полягає у виборі клітини з мінімальним тарифом. Слід зазначити, що цей метод, як правило, дозволяє знайти опорний план транспортної задачі, при якому загальна вартість перевезень вантажу менше, ніж загальна вартість перевезень при плані, знайденому для даної задачі за допомогою методу північно-західного кута. Тому найбільш доцільно опорний план транспортної задачі знаходити методом мінімального елементу.

При визначенні оптимального плану транспортної задачі методом апроксимації Фогеля на кожній ітерації по всіх стовпцях і по всіх рядках знаходять різницю між двома записаними в них мінімальними тарифами. Ці різниці записують у спеціально відведених для цього рядку і стовпці в таблиці умов завдання. Серед зазначених різниць вибирають мінімальну. У рядку (або в стовпці), якій ця різниця відповідає, визначають мінімальний тариф. Клітину, в якій він записаний, заповнюють на даній ітерації. Якщо мінімальний тариф однаковий для декількох клітин даної рядок (стовпчик), то для заповнення вибирають ту клітину, яка розташована у стовпці (рядку), відповідному найбільшою різниці між двома мінімальними тарифами, що знаходяться в даному стовпці (рядку). Як правило, застосування методу апроксимації Фогеля дозволяє отримати або опорний план, близький до оптимального, або сам оптимальний план.

2.2. Опис і алгоритм методу рішення

Всі наведені моделі описують транспортну завдання у вигляді задачі лінійного програмування. У такій формі вона може бути вирішена стандартними засобами лінійного програмування, наприклад симплекс-методом.

Для вирішення транспортної задачі можуть бути використані також і менш трудомісткі (за обсягом обчислень) алгоритми, наприклад, метод потенціалів.

Широко розповсюдженим методом вирішення транспортних задач є метод потенціалів. 

Якщо допустиме рішення   , транспортної задачі є оптимальним, то існують потенціали (числа) постачальників   , і споживачів  ,  , що задовольняє наступним чином: 

при , (2.1)

при . (2.2)

Група рівностей (2.1) використовується як система рівнянь для знаходження потенціалів. Дана система рівнянь має m + n невідомих  ,   і  ,  . Число рівнянь системи, як і число відмінних від нуля координат невиродженого опорного рішення, так само m + n-1. Так як число невідомих системи на одиницю більше числа рівнянь, то однією з них можна задати значення довільно, а решта знайти з системи. 

Група нерівностей (2.2) використовується для перевірки оптимальності опорного рішення. Ці нерівності зручніше представити в наступному вигляді: 

  при (2.3) 

Числа   називаються оцінками для вільних клітин таблиці (векторів умов) транспортної задачі. 

Опорне рішення є оптимальним, якщо для всіх векторів умов (клітин таблиці) оцінки недодатні. 

Оцінки для вільних клітин транспортної таблиці використовуються при поліпшенні опорного рішення. Для цього знаходять клітку (l, k) таблиці, відповідну 

 .

Якщо  , то рішення оптимальне. Якщо ж   , то для відповідної клітини (l, k) будують цикл і покращую рішення, перерозподіляють вантаж  

з цього циклу. 

Алгоритм методу потенціалів складається з таких етапів:

1. Визначення типу транспортної задачі (відкрита чи закрита). За необхідності слід звести задачу до закритого типу.

2. Побудова першого опорного плану транспортної задачі одним з відомих методів.

3. Перевірка опорного плану задачі на виродженість. За необхідності вводять нульові постачання.

4. Перевірка плану транспортної задачі на оптимальність.

Визначення потенціалів для кожного рядка і стовпчика таблиці транспортної задачі. Потенціали опорного плану визначають із системи рівнянь u_i + v_j = c_ij, які записують для всіх запов­нених клітинок транспортної таблиці, кількість яких дорівнює , а кількість невідомих — . Кількість рівнянь на одне менша, ніж невідомих, тому система є невизначеною, і одному з потенціалів надають нульове значення. Після цього всі інші потенціали розраховують однозначно.

Перевірка виконання умови оптимальності для пустих клітин. За допомогою розрахованих потенціалів перевіряють умову оптимальності u_i + v_j  c_ij для незаповнених клітинок таблиці. Якщо хоча б для однієї клітини ця умова не виконується, тобто u_i + v_j > c_ij, то поточний план є неоптимальним, і від нього необхідно перейти до нового опорного плану.

 Вибір змінної для введення в базис на наступному кроці. Перехід від одного опорного плану до іншого виконують заповненням клітинки, для якої порушено умову оптимальності. Якщо таких клітинок кілька, то для заповнення вибирають таку, що має найбільше порушення, тобто .

Побудова циклу і перехід до наступного опорного плану. Вибрана порожня клітина разом з іншими заповненими становить , отже, з цих клітин обов’язково утвориться цикл. У межах даного циклу здійснюють перерахування, які приводять до перерозподілу постачань продукції. Кожній вершині циклу приписують певний знак, причому вільній клітинці — знак «+», а всім іншим — за черговістю знаки «–» та «+». У клітин­ках зі знаком «–» вибирають значення  і переносять його у порожню клітинку. Одночасно це число додають до відповідних чисел, які містяться в клітинках зі знаком «+», та віднімають від чисел, що позначені знаком «–». Якщо значенню  відповідає кілька однакових перевезень, то при відніманні залишаємо у відповідних клітинках нульові величини перевезень у такій кількості, що дає змогу зберегти невиродженість опорного плану.

Внаслідок наведеного правила вибору  дістаємо новий опорний план, який не містить від’ємних перевезень і задовольняє умови транспортної задачі. Оскільки кількість всіх клітин таблиці, що входять у цикл, є парною і до половини з них те саме число  додається, а від половини віднімається, то загальна сума перевезень по всіх колонках і рядках залишається незмінною.

Перевірка умови оптимальності наступного опорного плану. Якщо умова оптимальності виконується — маємо оптимальний план транспортної задачі, інакше необхідно перейти до наступного опорного плану.