2. Постановка задачі дослідження

 Класична транспортна задача лінійного програмування формулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників А_і в обсягах одиниць відповідно необхідно перевезти n споживачам в обсягах одиниць. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг продукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів. Відомі вартості перевезень одиниці продукції від кожного А_і-го постачальника до кожного В_j-го споживача, що подані як елементи матриці виду:

Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімальною.

У такій постановці задачі ефективність плану перевезень визначається його вартістю і така задача має назву транспортної задачі за критерієм вартості перевезень.

Транспортна задача є збалансованою, якщо сумарні запаси постачальників рівні сумарним запитам споживачів, тобто 

.

Якщо транспортна задача не збалансована, то виникають певні проблеми, особливо в її вирішенні. 

Особливості вирішення транспортних завдань з неправильним балансом: 

1.Якщо сумарні запаси постачальників перевершують сумарні запити споживачів, тобто

,

то необхідно ввести фіктивного (n+1)-го споживача з запитами 

,

рівними різниці сумарних запасів постачальників і запитів споживачів, і нульовими вартостями перевезень одиниць вантажу 

2. Якщо сумарні запити споживачів перевершують сумарні запаси постачальників, тобто

,

то необхідно ввести фіктивного (m +1)-го постачальника з запасами  

,

які рівні різниці сумарних запитів споживачів і запасів постачальників, і нульовими вартостями перевезень одиниць вантажу 

.

3. При складанні початкового опорного рішення в останню чергу слід розподіляти запаси фіктивного постачальника і задовольняти запити фіктивного споживача, незважаючи на те, що їм відповідає найменша вартість перевезень, що дорівнює нулю. 

Опорним вирішенням транспортної задачі називається будь-яке допустиме рішення, для якого вектори умов, відповідні позитивним координатами, лінійно незалежні. 

З огляду на те, що ранг системи векторів умов транспортної задачі дорівнює N=(m+n)-1, опорне рішення не може мати відмінних від нуля координат більше, ніж N. 

Для перевірки лінійної незалежності векторів умов, відповідних координатах допустимого рішення, використовують цикли.  Циклом називається така послідовність клітин таблиці транспортної задачі  

,

в якій дві і лише сусідні клітини розташовані в одному рядку або стовпці, причому перша і остання також знаходяться в одному рядку або стовпці. 

Система векторів умов транспортної задачі лінійно незалежна тоді і тільки тоді, коли з відповідних їм клітин таблиці не можна утворити жодного циклу.

Отже, допустиме рішення транспортної задачі  ,  є опорним тільки в тому випадку, коли з зайнятих ним клітин таблиці не можна утворити жодного циклу. 

3. Аналіз методів рішення задачі дослідження

Транспортна задача ділиться на два види: транспортна задача за критерієм вартості-визначення плану перевезень, при якому вартість вантажу була б мінімальна;транспортна задача за критерієм часу-більш важливим є виграш за часом. 

Транспортна задача за критерієм вартості є окремим випадком задачі лінійного програмування і може бути вирішена симплексним методом. Однак у силу особливостей задачі, вона вирішується набагато простіше. 

Транспортну задачу можна розв’язати такими методами:

1. Методом потенціалів;

2. Методом північно-західного кута;

3. Методом мінімальної вартості;

4. Методом подвійної переваги;

5. Метод апроксимації Фогеля;

6. Метод викреслювання.

Метод Фогеля. У цьому методі використовується поняття штрафної вартості.

Штрафна вартість для кожного рядка та стовпчика – різниця між найбільш дешевим маршрутом та наступним за ним (з погляду критерію мінімізації вартості перевезень).

Суть методу – мінімізація цих штрафів. Порядок застосування методу:

1. Щоб обчислити значення штрафної вартості для кожного рядка та стовпчика, необхідно знайти клітинки з найменшою вартістю та найближчим до них значенням вартості. Для кожного рядка та стовпчика найменше значення вартості віднімається від найближчого до нього значення, знайденого за критерієм мінімізації вартості. Така процедура дає змогу отримати значення штрафів за відсутність перевезень у клітинках з найменшою вартістю.

2. Вибирається рядок чи стовпчик із найбільшим значенням штрафної вартості, і в клітинку з найменшим значенням вартості перевезення для цього рядка чи стовпчика розміщується найбільш можлива кількість продукту. Така процедура дає змогу уникнути призначення високих штрафів.

3. Як і в попередньому методі, здійснюється коригування підсумкових значень по рядках та стовпчиках таблиці.

4. У рядках чи стовпцях, в яких пропозиція чи попит набули нульового значення, ставиться прочерк в усіх клітинах, в яких відсутні перевезення, оскільки ці клітини не можна використовувати в процесі подальшого розподілу перевезень.

Вказані кроки повторюються до тих пір, поки увесь попит не буде задоволено.

Індекси, що відповідають кількості перевезень, відображають порядок вибору штрафних вартостей і розподілу перевезень.

Ідея методу північно-західного кута полягає в тому, що заповнення таблиці починають, не враховуючи вартостей перевезень, з лівого верхнього (північно-західного) кута. У клітину записують менше з двох чисел та . Далі переходять до наступної клітини в цьому ж рядку або у стовпчику і заповнюють її, і т.д. Закінчують заповнення таблиці у правій нижній клітині. У такий спосіб значення поставок будуть розташовані по діагоналі таблиці.

Відповідно до даного методу запаси чергового постачальника використовуються для забезпечення запитів чергових споживачів до тих пір, поки не будуть вичерпані повністю, після чого використовується запаси наступного за номером постачальника. 

Заповнення таблиці транспортної задачі починається з лівого верхнього кута і складається з ряду однотипних кроків. На кожному кроці, виходячи із запасів чергового постачальника і запитів чергового споживача, заповнюється тільки одна клітина і відповідно виключається з розгляду один постачальник або споживач. При цьому нульові перевезення прийнято заносити в таблицю тільки в тому випадку, коли вони потрапляють у клітину (i, j), що підлягає заповненню, тобто в таблицю заносяться тільки базисні нулі   . Інші клітини з нульовими перевезеннями залишаються порожніми. Щоб уникнути помилок після побудови початкового опорного рішення необхідно перевірити, що число зайнятих клітин дорівнює (m+n)-1 і вектори умов, що відповідають цим клітинам, лінійно незалежні. Необхідно мати на увазі, що метод північно-західного кута не враховує вартість перевезень, тому, опорне рішення, побудоване за цим методом, може бути далеким від оптимального. 

Ідея методу мінімальної вартості полягає у тому, що на кожному кроці заповнюють клітинку таблиці, яка має найменшу вартість перевезення одиниці продукції. Такі дії повторюють доти, доки не буде розподілено всю продукцію між постачальниками та споживачами.

Даний метод дозволяє побудувати опорне рішення, яке досить близько до оптимального, оскільки використовує матрицю вартостей транспортної задачі   , . Даний метод складається з низки однотипних кроків, на кожному з яких заповнюється тільки одна клітина таблиці, відповідна мінімальної вартості

і виключається з розгляду тільки один рядок (постачальник) або один стовпець (споживач). Чергову клітку, відповідну

заповнюють також. Постачальник виключається з розгляду, якщо його запаси закінчуються. Споживач виключається з розгляду, якщо його запити задоволені повністю. На кожному кроці виключається або один постачальник, або один споживач. При цьому якщо постачальник не виключений, але його запаси дорівнюють нулю, то на тому кроці, коли від нього вимагається поставити вантаж, у відповідну клітину таблиці заноситься базисний нуль і лише потім постачальник виключається з розгляду.  Аналогічно поступають зі споживачем. 

Метод подвійної переваги полягає у тому, що перед початком заповнення таблиці необхідно позначити клітинки, які мають найменшу вартість у рядках і стовпчиках. Таблицю починають заповнювати з клітинок, позначених двічі (як мінімальні і в рядку, і в стовпчику). Далі заповнюють клітинки, позначені один раз (як мінімальні або в рядку, або в стовпчику), а в же потім – за методом мінімальної вартості.

Метод викреслювання. Для перевірки можливості утворення циклу використовується так званий метод викреслювання, який полягає в наступному. 

Якщо в рядку або стовпці таблиці одна зайнята клітина, то вона не може входити до будь-якої цикл, оскільки цикл має дві і тільки дві клітини в кожному стовпці. Отже, можна викреслити всі рядки таблиці, що містять по одній зайнятої клітці, потім викреслити всі стовпці, що містять по одній зайнятої клітці, далі повернутися до рядків і продовжити викреслювання рядків і стовпців. Якщо в результаті викреслювання всі рядки і стовпці будуть викреслені, значить, із зайнятих клітин таблиці не можна виділити частину, що утворить цикл, і система відповідних векторів умов є лінійно незалежною, а рішення опорним. Якщо ж після викреслювань залишиться частина клітин, то ці клітини утворюють цикл, система відповідних векторів умов лінійно залежна, а рішення не є опорним.