Тест 4 Алгебраїчні розширення

1. Розширення поля називається ..., якщо в полі існує така лінійно незалежна відносно поля система елементів , що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля .

а) нескінченим;

б) алгебраїчним;

в) скінченим;

г) трансцендентним.

2. Розширення є складним розширенням поля , якщо існує такий ланцюжок розширень ..., що :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Які з чисел є алгебраїчними:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Говорять, що множина є зчисленою, якщо існує взаємно однозначне відображення множини на множину всіх натуральних чисел . Чи є множина всіх алгебраїчних чисел зчисленою?

а) так;

б) ні;

в) за певних умов.

5. Нехай - алгебраїчне, - трансцендентне і - натуральне. Які з цих чисел алгебраїчні?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6. Яким числом є сума довільного раціонального і трансцендентного чисел:

а) раціональним;

б) алгебраїчним;

в) дійсним;

г) трансцендентним.

7. Яку алгебраїчну структуру відносно операції додавання і множення утворюють алгебраїчні числа:

а) групу;

б) кільце;

в) поле;

г) тіло.

8. Нехай поле є алгебраїчним розширенням поля степеня 10. Якого степеня алгебраїчні числа містяться в полі :

а) 1;

б) 2;

в) 5;

г) 10;

д) всі перераховані.

9. Нехай поле є алгебраїчним розширенням поля степеня 10. Чи містяться в полі окремі трансцендентні числа?

а) так;

б) ні;

в) лише одне.

10. Якщо число - алгебраїчне відносно поля , то в кільці існує єдиний зведений многочлен , що і степінь є найменшим серед степенів усіх многочленів з коренем . Як називається такий многочлен?

а) звідний;

б) мінімальний;

в) симетричний;

г) асоційований.

11. Мінімальне розширення поля , яке містить число , називається …, утвореним приєднанням числа :

а) складним розширенням поля ;

б) максимальним розширенням поля ;

в) простим розширенням поля ;

г) алгебраїчним розширенням поля ;

12. Якщо є алгебраїчним відносно поля , то називається …

а) простим алгебраїчним розширенням поля ;

б) складним алгебраїчним розширенням поля ;

в) простим трансцендентним розширенням поля ;

г) складним трансцендентним розширенням поля .

13. Чи вірно, що кожне складне алгебраїчне розширення поля є простим розширенням цього поля:

а) так;

б) ні;

в) за певних умов.

14. Нехай - алгебраїчне число. Яким буде число , обернене до :

а) дійсне;

б) алгебраїчне;

в) трансцендентне;

г) комплексне.

15. Задача 1: довести, що число - алгебраїчне і знайти його мінімальний многочлен:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

16. Задача 1: позбавитись віз ірраціональності в знаменнику дробу , де - корінь рівняння :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Підсумковий тест Теорія многочленів

1) Вираз виду: , де - _______________________________________________,

– _____________________________________,

- ___________________________________________,

називається ____________________ над ______________.

2. Степінь многочлена позначається ________ і канонічна форма многочлена це _________________________________________ _____________________________________________________.

3. Алгебраїчна рівність многочленів ________________________

_____________________________________________________,

а функціональна - ______________________________________

_____________________________________________________.

2. Якщо многочлени рівні алгебраїчно, то вони рівні і _________.

Чи справедливе обернене твердження: ___________________.

2. Властивості подільності многочленів:_____________________

______________________________________________________

______________________________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

2. Сформулювати теорему :_____________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

3. Якщо , то а) - ____________________________,

б) - ____________________________.

2. - _______________________________________________.

3. _______________________________________________.

4. Якщо , то _________________________________.

5. Заповнити пусті місця: ______+ _____,

де ___________________________________________________.

2. Многочлен з називається незвідним у полі , якщо ____________________________________________ _____________________________________________________.

3. Властивості незвідних многочленів: __________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

4. Якщо і , то _______________ _____________________________________________________.

5. Теорема Кронекера: _______________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

6. Поле розкладу многочлена - це ______________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

7. Для того, щоб був коренем кратності многочлена необхідно і достатньо, щоб _________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

8. Нехай

	1	-6	10	-6	9
3	1	-3	1	-3	0
3	1	0	1	0

Що можна сказати про число ? Чому рівна остача від ділення многочлена на _______________________________________________.

2. Раціональний дріб називається правильним, якщо _____________________________________________________.

Навести приклади правильного дробу: ____________________.

2. Елементарний дріб – це ____________________________ _____________________________________________________.

3. Якщо , то ______________, де___________________________________________________.

4. Кожен правильний дріб виду , де - _______ _________________________, - ______________________ можна подати у вигляді _________________________________ _____________________________________________________.

5. Многочлен є многочленом від __________змінних. Його вищий член __________, степінь ___________, лексикографічний запис ___ _____________________________________________________.

6. Многочлен називається однорідним, якщо _____________ _____________________________________________________.

Приклад:_____________________________________________.

2. Многочлен є симетричним, якщо __________ _____________________________________________________. Приклади симетричних многочленів: _____________________ _____________________________________________________.

Приклади несиметричних многочленів: ___________________ _____________________________________________________.

2. Властивості симетричних многочленів:__________________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________.

3. Елементарні симетричні многочлени – це а) для 2 змінних________________________________________ _____________________________________________________, б) для 3 змінних________________________________________ _____________________________________________________.

4. Основна теорема симетричних многочленів:___________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

5. Степеневу суму третього порядку від двох змінних представити через основні симетричні многочлени: _________ _____________________________________________________.

6. Теорема Вієта:_____________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

7. , де - ______ ______________________________________________________ Заповнити пропущені місця. Про що йде мова:______________ _____________________________________________________.

8. Якщо , то ________________________________ _____________________________________________________.

9. . Заповнити пропущені місця.

10. Якщо , то _________________________________ _____________________________________________________.

11. Многочлен третього степеня над полем має:

а) принаймні один дійсний корінь;

б) два дійсних і один комплексний корені.

Підкреслити правильну відповідь. Чи існують інші варіанти? Якщо так, то вказати їх: _________________________________ _____________________________________________________.

2. Будь-який многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має_________________________ _____________________________________________________.

3. Многочлен -го степеня у полі С має _________________ _____________________________________________________.

4. Якщо є коренем , то і _____________________.Сформулювати теорему на основі якої було зроблено висновок_____________________________ _____________________________________________________.

5. Що можна сказати про звідність довільного многочлена над , степінь якого перевищує 2: _______________________ _____________________________________________________. А якщо степінь дорівнює 2:______________________________ _____________________________________________________.

6. Всі дійсні корені многочлена містяться в інтервалі: ______ ________, де __________________________________________.

7. Правило Декарта: _________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

8. Що означає відокремити дійсні корені многочлена: _____ _____________________________________________________.

9. Як утворюється ряд Штурма: _______________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________.

10. Властивості ряду Штурма: _________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

11. Теорема Штурма: __________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

12. Щоб число , де - це___________________________, - це_________________________________________було коренем рівняння з цілими коефіцієнтами, необхідно _______ _____________________________________________________. Чи є ця умова достатньою? _____________________________.

13. Для того, щоб з цілими коефіцієнтами був звідним у полі необхідно і достатньо, щоб _______________________ _____________________________________________________.

14. Критерій Ейзенштейна: ____________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________.

15. Число є алгебраїчним , якщо _____________________ ____________________________, а трансцендентним - ______ _____________________________________________________.

16. Мінімальний многочлен – це многочлен, що задовольняє умови:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.