Міністерство освіти України

Черкаський національний університет

ім. Богдана Хмельницького

Ілляшенко Н.Г.

Гордієнко Н.М.

Теорія многочленів

Частина II

Черкаси 2005р.

Міністерство освіти України

Черкаський національний університет

ім. Богдана Хмельницького

Ілляшенко Н.Г.

Гордієнко Н.М.

Теорія многочленів

Частина II

Навчально – методичний посібник для організації самостійної роботи студентів

Черкаси 2005р.

Посібник містить набір запитань для самоперевірки відповідно до розділів частини І. Запропоновано 97 завдань для самостійної роботи. До кожної задачі дано відповідь.

Посібник призначений для організації самостійної роботи студентів стаціонарної та заочної форм навчання.

Рецензент : Кляцька Л. М. – кандидат фіз-мат наук, доцент кафедри алгебри, геометрії та МВМ ЧНУ ім. Б. Хмельницького.

Розділ I. Многочлени від однієї змінної

§ 1. Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею

Питання для самоконтролю:

1. Многочлен – це …

2. Старший коефіцієнт многочлена – це … , старший член многочлена – це … , степінь многочлена – це … .

3. Чи є такий запис многочлена його канонічною формою. Відповідь пояснити.

4. Канонічне представлення многочлена єдине чи ні?

5. Чому рівний степінь суми та добутку многочлена?

6. Що означають записи і

7. В чому полягає функціональна рівність многочленів?

8. Яка умова алгебраїчної рівності многочленів?

9. Чи вірно, що коли многочлени рівні між собою функціонально, то вони рівні і алгебраїчно?

10. Асоційовані многочлени – це …

11. Що означає запис:

Задачі

1. Знайти канонічну форму многочлена:

а) в кільці ;

б) у кільці .

2. Виконати ділення з остачею („кутом”): а) многочлена на многочлен ; б) многочлена на многочлен .

3. Використовуючи схему Горнера поділити в кільці многочлен на лінійний двочлен : а) ; б) .

4. При якій умові многочлен ділиться на многочлен .

5. При яких значеннях многочлени і з кільця рівні між собою: .

6. Довести, що з функціональної точки зору ці многочлени рівні:

з кільця .

7. Знайти всі значення при яких многочлен є квадратом

деякого многочлена з кільця . Записати . .

8. Знайти суму коефіцієнтів многочленна в кільці .

9. Знайти необхідну і достатню умову подільності многочленів на в кільці .

10. Знайти остачу від ділення на в кільці .

11. При діленні многочлена на в кільці дістали остачу . Знайти остачу від ділення на , якщо .

12. При діленні многочлена на в кільці дістали остачу 3, а при діленні на - остачу 9. Яка буде остача, якщо поділити на ?

13. При діленні многочлена на у кільці дістали частку та остачу . Знайти остачу від ділення на .

§ 2. Ділення многочлена на двочлен ( x- ). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями ( x-). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів. Алгоритм Евкліда

Питання для самоконтролю:

1. Сформулювати теорему Безу і наслідок з неї.

2. Що означає розкласти многочлен за степенями ?

3. Який дільник є спільним для многочленів?

4. Спільний дільник називається найбільшим спільним дільником многочленів, якщо…

5. Взаємно прості многочлени – це…

1. Що означає лінійно представити найбільший спільний дільник ?

2. При якій умові і взаємно прості?

3. Алгоритм Евкліда. Для чого його використовують?

4. Спільне кратне многочленів і - це …

5. Що називається НСК многочленів і як його обчислити?

Задачі

1. Знайти частку і остачу від ділення многочлена на многочлен .

2. Знайти значення многочлена з кільця в точці , якщо:

а) К = С ;

б) ; в) ; г) .

3) Методом невизначених коефіцієнтів знайти частку і остачу від ділення на .

4) Остачі від ділення многочлена з кільця на відповідно дорівнюють . Знайти остачу від ділення цього многочлена на .

5. При діленні многочлена на отримали остачі 5, -4, 6 відповідно. Знайдіть остачу при діленні многочлена на .

6. Знайти остачу від ділення многочлена на двочлени : а) б) в)

7) Користуючись схемою Горнера розкласти многочлен за степенями двочлена , якщо

а) ;

б) ;

в) .

8) Довести, що многочлен ділиться:

а) на над областю цілісності К з одиницею; б) на в кільці .

9) Користуючись алгоритмом Евкліда, знайти найбільший спільний дільник таких многочленів:

а) ; б) ; в) .

10) Знайти найменше спільне кратне таких многочленів : а) ; б) ; в) .

11) Визначити многочлени і так, щоб для многочленів і виконувалася рівність , якщо

а) ; б) .

§ 3. Незвідні многочлени над полем. Розклад многочленів на незвідні множники. Похідна многочлена. Кратні корені Питання для самоконтролю:

1. Який многочлен називається незвідним у полі ?

2. Звідний многочлен у полі – це …

3. Чи вірно, що многочлени першого степеня над будь-яким

полем є незвідними у кільці ?

4. Нехай - незвідні многочлени у полі . Як називається такий запис: ?

5. Канонічним розкладом многочлена називається …

6. Властивості незвідних многочленів: …

7. Які множники називаються кратними?

8. Яка кратність множника у канонічному розкладі многочлена ?

9. Якщо многочлени і розкладені на незвідні множники у полі , то чому рівний НСД цих многочленів?

10. Коренем кратності називається …

11. Число коренів многочлена над полем Р рівне …

12. Що називається полем розкладу многочлена?

13. Сформулюйте теорему Вієта.

14. Похідна многочлена дорівнює:…

15. Чи вірно, що ?

16. Необхідна і достатня умова, щоб многочлен мав кратний корінь …

Задачі

1. Встановити чи звідні над полем Q такі многочлени :

2. Розкласти на незвідні множники многочлен в полях Q, R, C, якщо він має дві пари коренів у полі, які є протилежними числами.

3. Розкласти на незвідні у полі Р множники такі многочлени:

4. Знайти многочлен шостого степеня з кільця , якщо

5. Розкласти многочлен f(x) за степенями двочлена і знайти , якщо:

належить .

6. Знайти кратність кореня многочлена :

7. При яких значеннях многочлен має кратний корінь:

8. Визначити коефіцієнт так, щоб многочлен мав число -1 коренем не нижче другої кратності.

9. Відокремити кратні множники таких многочленів:

10. Визначити коефіцієнт так, щоб один з коренів многочлена був рівним подвійному другому.

11. Знайти многочлен третього степеня, якщо його корені рівні , де - корені многочлена .

§ 4. Раціональні дроби. Елементарні дроби. Розклад дробу на елементарні дроби над полями q,r і c Питання для самоконтролю:

1. Який раціональний дріб називається правильним?

2. Елементарний дріб у полі - це …

3. Чи є елементарний дріб правильним?

4. Чи вірно, що , якщо і - взаємно прості многочлени? Відповідь пояснити.

5. Як можна представити правильний дріб ,

де - многочлен незвідний над полем ?

6. Чи єдиний розклад правильного дробу на елементарні дроби у даному полі. Відповідь пояснити

Задачі

1. Довести тотожність:

2. Використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона, побудувати многочлен найменшого степеня за такою таблицею:

	-3	-2	-1
	1	2	4

а)

	-1	0	1	2	3
	6	5	0	3	2

б)

3. Знайти многочлен найменшого степеня за такою таблицею:

	1	і	-1	-і
	і	1	-і	-1

а)

Обчислити

	1	2	3	4
	1

б) Обчислити

4. Знайти цілі числа такі, що

а) ;

б) .

5) У полі знайти нескоротний дріб, який дорівнює , .

6) Перевірити, чи є раціональні дроби елементарними над полем , якщо:

7) Розкласти дріб на елементарні дроби:

8) Розкласти дріб на елементарні дроби:

9) Розкласти дріб на елементарні дроби в полі комплексних чисел:

10) Розкласти дріб на елементарні дроби в полі раціональних чисел: