Властивості симетричних многочленів:

1. Сума, різниця і добуток симетричних многочленів від n змінних над деяким полем є симетричний многочлен над цим полем.

Наслідок. Множина всіх симетричних многочленів від змінних над полем утворює область цілісності з 1 відносно дій додавання і множення.

2. Якщо симетричний многочлен містить деякий член , то він містить і член, утворений з даного, внаслідок будь-якої перестановки показників .

3. Якщо є вищий член симетричного многочлена, то .

Теорема 4. (основна теорема теорії симетричних многочленів)

Всякий симетричний многочлен від змінних над полем можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій цих змінних, коефіцієнти якого належать тому ж полю , причому це представлення єдине.

Елементарні симетричні многочлени:

Представлення симетричних сум через елементарні симетричні многочлени:

Приклади розв’язування задач.

5.1. Упорядкувати лексикографічно і знайти вищий член многочлена з кільця .

Розв’язання.

Маємо

Вищий член многочлена: . Многочлен впорядковано за спаданням степенів .

5.2. Застосовуючи заміну розкласти на незвідні у полі многочлен .

Розв’язання.

Маємо:

.

5.3. Чи симетричні многочлени:

.

Розв’язання.

Нехай , тоді ,

цей многочлен несиметричний.

.

Розв’язання.

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Нехай , тоді

Цей многочлен симетричний.

5.4. Виразити через елементарні симетричні многочлени

.

Розв’язання.

§ 6. Застосування симетричних многочленів до розвязування деяких задач з елементарної алгебри. Приклади розв’язування задач.

6.1. У множині дійсних чисел розвязати систему :

Розв’язання.

Ліва частина кожного з рівнянь системи є симетричним многочленом. Так як

то з першого рівняння одержимо, що .

Для другого рівняння маємо таке представлення: Тому = 9.

Аналогічно для третього рівняння:

= 1.

В результаті маємо систему:

За теоремою Вієта складемо відповідне рівняння . Знайдемо його корені :

	1	-1	-4	4
1	1	0	-4	0

Повернувшись до змінних , одержимо, що одним з розвязків даної системи рівнянь є = 1, = 2, = -2. Всі інші корені дістаємо перестановкою чисел 1, 2, -2.

Таким чином

( ) є {(1, 2, -2),(1, -2, 2),(2, 1, -2),(-2, 1, 2),(2, -2, 1),(-2, 2, 1)}.

6.2. Розвязати систему ірраціональних рівнянь

Розв’язання.

Зробимо заміну:

Тоді матимемо систему рівнянь:

Позначимо: і матимемо:

Повертаючись до змінних і , знаходимо: .

Розвязками цієї системи є: .

Враховуючи введену заміну, матимемо сукупність систем:

Розвязками системи є пари чисел : (1, 8) і (8, 1).

6.3. Скласти квадратне рівняння з коренями і , якщо i є коренями квадратного рівняння .

Розв’язання.

Коренями рівняння є відповідно

Нове квадратне рівняння матиме вигляд:

Складемо систему, підставивши замість значення

Тому шукане квадратне рівняння має вигляд:

6.4. Довести, що коли + + = 0, то

Розв’язання.

Виразимо через елементарні симетричні многочлени:

.

Так як , то .

Виразимо через елементарні симетричні многочлени вираз

Матимемо, що

Отже, рівність доведено.