Розділ II. Многочлени від кількох змінних § 5. Кільце многочленів від n змінних. Розклад многочлена на добуток незвідних множників. Симетричні многочлени.

Означення 1. Кільцем многочленів від змінних над областю цілісності R називається кільце многочленів від однієї змінної над кільцем , тобто = [ ].

Кільце многочленів над областю цілісності R є область цілісності, причому кожен елемент можна подати як скінчену суму: , (1),

де

Означення 2. Кожний елемент кільця називається многочленом від змінних над і позначається ,

і т.д.

Кожен доданок в сумі (1) називається членом многочлена , елемент – коефіцієнтом цього члена. Два члени, які відрізняються тільки коефіцієнтами називаються подібними.

Приклад: - многочлен від двох змінних x, y.

Теорема 1. Будь-який многочлен можна подати у канонічній формі ( без подібних членів ).

Означення 2 Степенем члена многочлена називається сума . Число називається степенем даного члена відносно . Найбільший із степенів членів називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – старшим членом многочлена.

Приклад:

7 – степінь многочлена, - старший член многочлена.

Означення 3. Якщо всі члени многочлена мають однаковий степінь, то многочлен називається однорідним.

Теорема 2. Якщо і – відмінні від нуля многочлени з , де – область цілісності, то .

Нехай і - два члени многочлена . Вважається, що перший елемент вищий від другого, якщо . Відношення “бути вищим” на множині членів многочленів є лінійним строгим порядком, його називають лексикографічним (позначають ).

Приклад: - лексикографічний запис многочлена, - вищий член.

Лема 1. Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.

Означення 4. Вважатимемо, що многочлен ділиться на многочлен і записуватимемо , якщо існує такий многочлен , що . При цьому - дільник .

Властивості подільності:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Означення 5. Многочлен називається незвідним у полі Р, якщо і .

Многочлен називається звідним у полі Р, якщо і .

Властивості незвідних многочленів:

1. Якщо р незвідний у полі многочлен, то і будь-який асоційований з ним многочлен незвідний у полі .

2. Якщо і незвідні у полі Р многочлени і , то і асоційовані.

3. Будь-який многочлен першого степеня незвідний у полі .

Теорема 3. Будь-який многочлен над полем Р ненульового степеня множна подати як добуток многочленів, незвідних у полі Р, причому єдиним способом з точністю до сталих множників і їх порядку.

Лема 2. Для будь-якої скінченої системи елементів ( – область цілісності), відмінних від нуля, існує єдиний ( з точністю до дільників одиниці ) НСД.

Означення 6. Многочлен називається примітивним (відносно ), якщо НСД його коефіцієнтів дорівнює одиниці.

Лема 3. Добуток двох примітивних многочленів з є примітивний многочлен.

Означення 7. Многочлен називається симетричним відносно змінних , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен рівний даному.

Приклад: симетричний відносно ;

симетричний відносно , але несиметричний відносно або не симетричний відносно