§ 4. Раціональні дроби. Елементарні дроби. Розклад дробу на елементарні дроби надполями q,r і c.

Теорема 1. Для будь-якого поля існує єдине поле , яке містить кільце многочленів над полем і кожен елемент якого можна подати у вигляді частки , де .

Означення 1. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена менша за степінь многочлена . В іншому разі дріб – неправильний.

Приклад: - правильний дріб, - неправильний дріб.

(Далі всі дроби вважати раціональними)

Лема 1. Сума правильних дробів є правильний дріб.

Означення 2. Елементарним дробом у полі Р називається раціональний дріб виду , де - незвідний многочлен у

полі , і , а – будь-яке натуральне число.

Кожен елементарний дріб є правильним.

Лема 2. Якщо і - взаємнопрості многочлени над полем Р і - правильний раціональний дріб над цим полем, то в кільці завжди можна знайти такі многочлени і , що .

Наслідок. Якщо - попарно взаємно прості многочлени над полем і - правильний раціональний дріб над цим полем, то в кільці завжди можна знайти такі многочлени , що , причому всі дроби у правій частині правильні.

Лема 3. Всякий правильний дріб над полем виду , де - многочлен, незвідний у полі Р, а - довільне натуральне число, можна подати як суму двох правильних дробів над полем виду , з яких перший є елементарний в полі .

Наслідок. Кожен правильний дріб над полем виду , де – многочлен незвідний у полі , а – довільне натуральне число, можна подати як суму елементарних дробів у цьому полі: .

Теорема 2. Всякий правильний дріб над полем можна подати як суму елементарних дробів у цьому полі.

Теорема 3. Розклад правильного раціонального дробу на елементарні дроби у даному полі єдиний.

Теорема 4. Всякий неправильний дріб над полем можна подати як суму многочлена і правильного дробу , де - ціла частина дробу , – правильний дріб.

Нехай Р – деяке поле, - різні елементи поля і - довільні елементи поля . Існує один і тільки один многочлен в кільці Р[x], степінь якого не перевищує n і який набуває в (n + 1)-й точці задані значення ,

Шуканий многочлен має вигляд

(1)

Многочлен (1) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа.

Іноді доцільно многочлен записувати у вигляді (2)

(2)

де коефіцієнти визначаються послідовним підставленням значень .

Многочлен (2) називають інтерполяційним многочленом Ньютона.

Приклади розв’язування задач.

4.1. Використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона побудувати многочлен найменшого степеня за такою таблицею:

	0	1	2	3	4
	1	2	3	4	6

Розв’язання.

Щоб знайти коефіцієнти многочлена запишемо загальний вигляд інтерполяційної формули Ньютона:

.

В нашому випадку многочлен набуде такого вигляду:

Підставивши вцей вираз значення складемо систему:

Тому маємо:

4.2. У полі знайти нескоротний дріб, який дорівнює

, .

Розв’язання.

а) Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники і маємо:

- нескоротний дріб.

б)

Розділимо ”кутом” на :

x⁸ + x⁴ + 1 | x² + x + 1

x⁸ + x⁷ + x⁶ | x⁶ - x⁵ + x³ - x + 1

-x⁷ - x⁶ + x⁴ + 1

-x⁷ - x⁶ - x⁵

x⁵ + x⁴ + 1

x⁵ + x⁴ + x³

-x³ + 1

-x³ - x² - x

x² + x + 1

x² + x + 1

0

.

4.3. Перевірити, чи є раціональний дріб елементарним над

полем , якщо .

Розв’язання.

Нагадаємо, що - елементарний, якщо його можна представити, як , де - незвідний над полем многочлен і .

, - незвідний у полі , тому цей дріб елементарний.

4.4. Розкласти дріб на елементарні дроби:

над .

Розв’язання.

Цей дріб нескоротний, бо НСД чисельника і знаменника дорівнює 1. Розкладемо знаменник на незвідні множники над R і, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, леми 2, 3 та наслідки з них маємо:

Прирівняємо відповідні коефіцієнти:

маємо: .

б) над .

Розв’язання.

Розкладемо знаменник дробу на незвідні над Q многочлени:

в) над .

Розв’язання.

Розкладемо знаменник дробу на незвідні над С многочлени:

4.5. Довести тотожність:

де

Розв’язання.

Розглянемо многочлен

Обчислимо його значення, якщо

Це значить, що многочлен є многочленом Лагранжа степінь якого не вище 2. Многочлен при набуває значень:

Як відомо, над полем R існує лише один многочлен, степінь якого не

більша 2 і який при трьох різних дійсних числах набуває значень . Це означає, що многочлени i дорівнюють один одному.