§ 3. Незвідні многочлени над полем. Розклад многочленів на незвідні множники. Похідна многочлена. Кратні корені.

Означення 1. Многочлен Р[x] називається незвідним (нерозкладним, простим) у полі Р, якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочлена виду ,

де - константа.

Многочлен виду є асоційованим з многочленом .

Означення 2. Многочлен Р[x] називається звідним (складеним) у полі Р, якщо deg f 1 і в кільці Р[x] існують многочлени i , такі, що = , deg g 1 і deg s 1.

Приклади: - звідний над Z, бо

- незвідний над Z, бо цілих коренів немає:

кожен многочлен другого степеня звідний над C;

- звідний над Q, бо

- незвідний над Q, бо D < 0.

- звідний над R, так як

Властивості незвідних многочленів над полем :

1. Многочлени першого степеня над будь-яким полем є незвідними у кільці .

2. Якщо многочлен є незвідним над полем , то для кожного многочлен також незвідний над .

3. Якщо многочлен є незвідним над полем , то для будь-якого многочлена з кільця або =1.

4. Якщо незвідний многочлен над полем ділиться на незвідний многочлен , то ці многочлени відрізняються тільки сталим множником.

Теорема 1. Кожний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді , (1)

де всі є незвідними многочленами у полі .

Зображення (1) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .

• Зображення (1) – це розклад многочлена на незвідні множники у полі .

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді , (2)

де – попарно різні (неасоційовні) многочлени, незвідні у полі .

Це зображення єдине з точністю до сталих множників і їх нумерації.

• Зображення (2) – це канонічний розклад многочлена у полі Р[x].

Означення 3. Якщо многочлен входить у канонічний розклад (2) у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена . Множники, кратність яких більша за 1, називають кратними множниками.

Теорема 2. Якщо многочлени і розкладені на незвідні множники у довільному полі Р, то найбільший спільний дільник дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як , так і . Якщо таких незвідних множників немає, то =1.

Означення 4. Елемент Р називається k- кратним коренем (або коренем k-ї кратності) многочлена , якщо ділиться на , але не ділиться на .

Означення 5. Корені кратності 1 називаються простими, a корені, кратність яких більша за 1, - кратними.

Теорема 3. Число всіх можливих коренів многочлена над полем Р не перевищує його степеня.

Наслідок. Якщо многочлен , степінь якого не перевищує , має коренів, то – нуль-многочлен.

Теорема Кронекера. Якщо - довільний многочлен над полем Р, для якого , то існує розширення К поля Р, в якому многочлен має корінь.

Теорема 4. Для будь-якого многочлена степеня існує таке розширення L поля Р, в якому розкладається на лінійні множники.

Означення 6. Поле L, де розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена.

Теорема Вієта. Якщо - корені многочлена , то

,

…..................................................................................................

,

- означає, що сума береться по всіх комбінаціях

з n індексів 1,2 … n по k.

Означення 7. Похідною від многочлена називається многочлен .

Похідна від нуль-многочлена дорівнює нулю.