Властивості взаємно простих многочленів:
1)
[(
,
)
= 1
(
,
)
= 1
(
,
)
= 1
2)
[
(
,
)
= 1
]
3)
[
(
,
)
= 1
]
Алгоритм Евкліда.
Маємо
і
,
причому deg
deg
.
Виконаємо послідовне ділення :
=
+
=
+
=
+
…
=
+
=
Остання відмінна від нуля остача у цій системі рівностей і є НСД многочленів і .
Властивості нсд:
1) будь-які многочлени і мають тривіальні НСД – дільники одиниці кільця Р[x];
2)
якщо
– НСД многочленів
і
,
то
с
0 і
– теж НСД многочленів
і
.
3)
якщо
i
- НСД многочленів
і
,
то
,
бо
- НСД , а , бо – НСД. Тоді i – aсоційовані, тобто = , де c – const, c 0.
Зауваження: НСД можна обчислювати з точністю до сталого множника.
Приклад: Знайти НСД = 4 + 3 + 2 + + 1 i
= 5 3 + 4 2 + 3 + 2.
Розв’язання.
1)
(
:
)
( щоб уникнути дробів множимо
на 5)
x4 + x3 + x2 + x + 1 |5x3 + 4x2 + 3x + 2
_5x4 + 5x3 + 5x2 + 5x + 5 |x + 1 = - частка
5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x
x3 + 2x2 + 3x + 5
_5x3 + 10x2 + 15x + 25
5x3 + 4x2 + 3x + 2
6x2
+
12x + 23 =
– остача
= 6x2
+
12x + 23.
2) ( : )
5x3 + 4x2 + 3x + 2 |6x2 + 12x + 23
_30x3
+ 24x2
+
18x + 12 | 5x - 6 =
- частка
30x3 + 60x2 + 115x
_-36x2 -97x + 12
36x2 -72x - 138
-25x + 150 = – остача
= -x + 6
3) ( : )
_6x2 + 12x + 23 |-x + 6
6х2
– 6х
|-6x
- 48 =
- частка
_48х + 23
48х - 288
311 / : 311
1= - остача
Отже
= 1, тому (
)
=1 – взаємно прості.
Означення 4. Спільним кратним многочленів f(x) і g(x) Р[x] називають будь-який многочлен Р[x] такий, що
.
Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) і g(x) називається їх спільне кратне, на яке ділиться кожне спільне кратне цих многочленів. Позначається так : [f(x),g(x)].
Теорема 3. Для будь-яких відмінних від нуля многочленів і НСК існує і визначається однозначно з точністю до сталого множника.
[
,
]
=
Приклади розв’язування задач.
2.1.Остачі
від ділення многочлена
з кільця
на
,
і
відповідно дорівнюють 3,15 і 0. Знайти
остачу при діленні цього многочлена на
.
Розв’язання.
Запишемо
многочлен у вигляді:
тоді
маємо
,
де
,
тому
.
Звідси
.
Згідно теореми Безу:
звідси
.
2.2.
Довести, що
ділиться на
і на
в кільці
для всіх
.
Розв’язання.
За теоремою Безу та формулою Муавра маємо:
2.3.
Знайти
НСК многочленів
.
Розв’язання.
Знаходимо НСД мнгочленів i , для цього виконаємо ділення на кутом:
x4 - 4x3 + 4x2 - 5x - 2 | x2 – x + 2
x4 - x3 + 2x2 | x2 - 3x - 1
-3x3 + 2x2 - 5x - 2
-3x3 + 3x2 - 6x
-x2 + x - 2
x2 + x - 2
0
Звідси
маємо, що НСД
i
рівний:
.
Обчислюємо НСК:
.
2.4.
Визначити
многочлени
і
так, щоб для многочленів
і
виконувалася рівність
,
якщо
Розв’язання.
Застосуємо алгоритм Евкліда до многочленів і :
х3
+
x2
+
x
+
|
x3
+
x2
+
x
+
x3 + x2 + x + |
x2
+
x
+
_x3 + x2 +x + | x2 + x +
x3 + x2 + x | x +
x2 + x +
x2 +x +
x +
x2 + x + | x +
x2 + x | x +
x +
x
+
0
Тоді
