§ 2. Ділення многочлена на двочлен ( X- ). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями ( X-). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів. Алгоритм Евкліда.
Теорема
Безу.
Для будь-якого елемента
з поля Р остача при діленні многочлена
P[x] на (
–
)
дорівнює
().
Наслідок.
Якщо
=
є коренем
,
то
(
- ).
Приклад.1
Поділити многочлен на двочлен
(
–
)
можна “кутом”:
_4x4 + x3 - ділене |x + 1 + i - дільник
4x4 + (4 + 4i) x3 |4x3 – (3 + 4i) x2 + (7i - 1) x + 8 – 6i = - частка
_-(3 + 4i) x3
-(3 + 4i) x3 – ( 1+ i)(3 + 4i) x2
_(7i
- 1) x2
(7i
- 1) x2
+ (1 + i)(7i - 1) x
_(8 - 6i) x
(8
- 6i) x + (1 + i)(8 - 6i)
-2i
- 14 =
-
остача
Метод невизначених коефіцієнтів :
4
4
+
3
=
(
+ 1 + i)
+
,
deg
3,
deg
<
2
тому = A3 3 + A2 2 + A1 + A0,
= B1 + B0
4 4 + 3 = ( + 1 + i)( A3 3 + A2 2 + A1 + A0) + B0
маємо:
тому = 4 3 – (3 + 4i) 2 + (7i - 1) + 8 – 6i
= -2i - 14.
3. Схема Горнера:
= -1 - i
Робоча стрічка |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 - i
|
4
A3 |
-3 - 4i
A 2 |
7i – 1
A1 |
-6i + 8
A0 |
2i - 14 =
B0
|
При кожному наступному діленні старший коефіцієнт переписується, а робочою стрічкою стає щойно написана стрічка з коефіцієнтів.
Розкласти
многочлен за степенями ( x -
) означає представити його у вигляді:
= cn
(
-
)n
+ cn-1
(
-
)n-1
+
… + c1
(
-
) + c0
Це
зручно робити за схемою Горнера, де с0,
с1,...,
сn
являються частками при послідовному
діленні многочлена
на
(
- ).
Приклад:
Розкласти
многочлен
=
4
+
3
+
2
+
за степенями
(
- ),
=
в
кільці Z3[
].
Розв’язання.
Виконаємо
послідовне ділення многочлена
на двочлен (
-
),
використовуючи схему Горнера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=С0 |
|
|
|
|
=С1 |
|
|
|
|
= С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= С4 |
|
|
|
|
=
=
=
С3
Маємо
=
(
-
)4
+ (
-
)2
+ (
-
).
Означення
1.
Якщо многочлен
є дільником многочлена
і многочлена
,
то він називається спільним
дільником
f(x) i g(x).
Означення
2.
Спільний дільник многочленів
і
,
який ділиться на кожен інший спільний
дільник
і
,
називається найбільшим
спільним дільником (НСД) і позначається
(f(x),g(x)).
Означення
3.
Многочлени
і
Р[x] називаються взаємно
простими,
якщо їх спільний дільник є многочленом
нульового степеня:
.
Теорема
2.
Для будь-яких двох многочленів
i
Р [x] існує НСД
,
такий, що
=
+
.
Таке представлення називається лінійним представленням НСД, де і – деякі многочлени з Р[ ].
Наслідок. Многочлени i Р[x] взаємно прості тоді і тільки тоді, коли існують такі многочлени і Р[x], що
+ = 1.