- •Розділ I. Многочлени від однієї змінної § 1. Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею.
- •Відношення подільності многочленів над полем р має такі властивості:
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 2. Ділення многочлена на двочлен ( X- ). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями ( X-). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів. Алгоритм Евкліда.
- •Метод невизначених коефіцієнтів :
- •Властивості взаємно простих многочленів:
- •Алгоритм Евкліда.
- •Властивості нсд:
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 3. Незвідні многочлени над полем. Розклад многочленів на незвідні множники. Похідна многочлена. Кратні корені.
- •Властивості незвідних многочленів над полем :
- •Виконуються такі рівності:
- •Відокремлення кратних множників.
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 4. Раціональні дроби. Елементарні дроби. Розклад дробу на елементарні дроби надполями q,r і c.
- •Приклади розв’язування задач.
- •Розділ II. Многочлени від кількох змінних § 5. Кільце многочленів від n змінних. Розклад многочлена на добуток незвідних множників. Симетричні многочлени.
- •Властивості подільності:
- •Властивості незвідних многочленів:
- •Властивості симетричних многочленів:
- •Елементарні симетричні многочлени:
- •Представлення симетричних сум через елементарні симетричні многочлени:
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 6. Застосування симетричних многочленів до розвязування деяких задач з елементарної алгебри. Приклади розв’язування задач.
- •§ 7. Дискримінант та результант двох многочленів, їх властивості і застосування до розв'язування задач.
- •Властивості результанта:
- •Приклади розв’язування задач.
- •Розділ III.Многочлени над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел § 8. Многочлени над полем комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 9. Многочлени над полем дійсних чисел.
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 10. Рівняння третього степеня.
- •Якщо коефіцієнти p I q рівняння (1) є дійсними числами, то:
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 11. Відокремлення дійсних коренів многочленів. Теорема Штурма.
- •Властивості ряду Штурма:
- •Застосування теореми Штурма:
- •Приклади розв’язування задач.
- •Розділ IV. Многочлени над полем раціональних чисел та алгебраїчні числа § 12. Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Критерій незвідності Ейзенштейна.
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 13. Алгебраїчні і трансцендентні числа. Будова простого алгебраїчного розширення поля.
- •Приклади розв’язування задач.
- •§ 14. Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу.
- •Приклади розв’язування задач.
- •Розділ V. Цікаві задачки § 15. Задачі на доведення
- •§ 16. Нестандартні задачі
- •§ 17. Задачі для самостійного розв’язання
- •Словничок термінів
- •Список використаних джерел.
Список використаних джерел.
1. Завало С.Т. та ін. Алгебра і теорія чисел. – К.: Вища шк. Головне видавництво, 1976. – Ч.1
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979. – 559
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. – М.: Просвещение, 1978. – Ч.2.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977
Проскуряков И.В. Числа и многочлены. – М.: Просвещение, 1965
Алгебра и теорія чисел: Практикум: В 2-х ч. / С.Т. Завало, С.С. Левіщенко, В.В. Пілаєв, І.О.Рокицький – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1986 – Ч.2.
Фадеев Д.К. Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1971.
Бурдук А.А., Мурашко Е.А. и др. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. – Минск: Университетское, -1989.
Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник – практикум по алгебре Ч. IV. – М.: Просвещение, - 1985.
Вища алгебра: Методичні вказівки до проведення практичних занять. Випуск III / Савченко М.А. - Х.: Видавництво харківського університету. – 1962.
Зміст
Розділ I. Многочлени від однієї змінної 5
§ 1. Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею. 5
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 9
§ 2. Ділення многочлена на двочлен ( x- ). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями ( x-). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів. Алгоритм Евкліда. 12
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 17
§ 3. Незвідні многочлени над полем. Розклад многочленів на незвідні множники. Похідна многочлена. Кратні корені. 19
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 24
§ 4. Раціональні дроби. Елементарні дроби. Розклад дробу на елементарні дроби надполями Q,R і C. 29
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 31
Розділ II. Многочлени від кількох змінних 35
§ 5. Кільце многочленів від n змінних. Розклад многочлена на добуток незвідних множників. Симетричні многочлени. 35
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 40
§ 6. Застосування симетричних многочленів до розвязування деяких задач з елементарної алгебри. 41
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 41
§ 7. Дискримінант та результант двох многочленів, їх властивості і застосування до розв'язування задач. 43
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 45
Розділ III.Многочлени над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел 49
§ 8. Многочлени над полем комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. 49
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 50
§ 9. Многочлени над полем дійсних чисел. 52
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 53
§ 10. Рівняння третього степеня. 54
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 54
§ 11. Відокремлення дійсних коренів многочленів. Теорема Штурма. 56
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 58
Розділ IV. Многочлени над полем раціональних чисел та 65
алгебраїчні числа 65
§ 12. Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Критерій незвідності Ейзенштейна. 65
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 66
§ 13. Алгебраїчні і трансцендентні числа. Будова простого алгебраїчного розширення поля. 68
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 70
§ 14. Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу. 72
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 73
Розділ V. Цікаві задачки 78
§ 15. Задачі на доведення 78
79
Словничок термінів 94
А 94
В 94
Д 94
Е 95
З 95
І 96
К 96
Л 97
М 97
Н 99
О 99
П 99
Р 100
С 100
Т 101
Ф 101
Ч 102
Список використаних джерел. 103
Зміст 104