Словничок термінів

А

Алгебраїчна рівність многочленів – див. рівність многочленів.

Алгебраїчним розширенням поля Р називається розширення поля , якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля Р.

Алгебраїчним числом відносно поля Р називається число α, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем .

Алгебраїчно замкненим називається поле , яке є полем розкладу будь-якого многочлена .

Алгоритм Евкліда:

маємо многочлени і , причому deg deg . Виконаємо послідовне ділення:

= +

= +

= +

…

= +

=

Остання відмінна від нуля остача у цій системі рівностей і є НСД многочленів і .

Асоційованими називаються многочлени і з кільці , якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою: ).

В

Взаємно простими називаються многочлени і , якщо їх спільний дільник є многочлен нульового степеня: ( , ) = 1.

Вільним (нульовим) членом многочлена називається елемент _.

Д

Ділення націло: многочлен ділиться націло на

( записується ), якщо існує многочлен такий, що

.

Дискримінантом многочлена називається вираз , де - результант і його похідної .

• При цьому справджується рівність: ,

де корені .

Дискримінантом рівняння третього степеня з комплексними коефіцієнтами , яке за допомогою підстановки зводиться до виду , називається число .

Добутком многочленів

називається многочлен , де , , тобто .

Е

Елементарним дробом у полі Р називається раціональний дріб

виду , де - незвідний многочлен у полі Р, і , а – будь-яке натуральне число.

З

Звідним (складеним) у полі Р називається многочлен

, якщо deg f 1 і в кільці Р[x] існують многочлени f(x) i g(x), такі, що i , такі, що

= , deg g 1 і deg s 1.

Звідним у полі Р називається многочлен від n змінних , якщо і .

Значенням многочлена при R, називається елемент з кільця R і позначається , якщо многочлен R[x] має канонічну форму.

І

Інтерполяційним многочленом Лагранжа називають многочлен виду:

(1)

Нехай – деяке поле, - різні елементи поля і - довільні елементи поля . Існує один і тільки один многочлен в кільці [x], степінь якого не перевищує і який набуває в ( )-й точці задані значення ,

Шуканий многочлен має вигляд (1).

Інтерполяційним многочленом Ньютона називають многочлен виду:

(2)

Іноді доцільно многочлен (1) записувати у вигляді (2), де коефіцієнти визначаються послідовним підставленням значень .

К

Канонічним розкладом многочлена у полі Р[x] називається подання довільного многочлена ненульового степеня над полем у вигляді , де – попарно різні (неасоційовні) многочлени, незвідні у полі Р[x]. Це зображення єдине з точністю до сталих множників і їх нумерації.

Канонічною формою многочлена f (x) називається упорядкування його членів за спаданням степеня .

Квадратичним розширенням поля Р називається просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням до нього числа α, яке є коренем квадратного тричлена над полем і не належить полю .

k-тим членом або членом k-го степеня многочлена називається вираз (к = ).

Кількістю змін знаків даної послідовності називається кількість пар сусідніх чисел деякої впорядкованої послідовності дійсних чисел , які мають протилежні знаки.

Кільцем многочленів від змінних над областю цілісності R називається кільце многочленів від однієї змінної над кільцем , тобто = .

Коефіцієнтом k-го члена многочлена від

n змінних є елемент .

Коренем многочлена f (х) називається число , якщо = 0.

Кратним множником називають множник, кратність якого більша за 1. Якщо многочлен входить у канонічний розклад у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена .

Кратний корінь – це корінь, кратність якого більша за 1.

Л

Лінійним представленням НСД є запис виду: ,

де і – деякі многочлени з [x], а - НСД двох многочленів

i [x].

Лексикографічним записом називається відношення “бути вищим” на множині членів многочленів, що є лінійним строгим порядком.

Нехай і - два члени многочлена .Вважається, що перший елемент вищий від другого, якщо (позначають ).

М

Мінімальним полем Р{M}, що містить дану числову множину М, називається поле, яке є перетином усіх числових полів, що містять

множину М.

Многочленом (поліномом) від однієї змінної над областю цілісності R називається вираз виду , де

- довільне ціле невід’ємне число,

– елементи R,

– деякі символи;

- k-ий степінь змінної ,

- k-ий коефіцієнт многочлена або коефіцієнт при (k= ).

Многочленом від змінних над називається кожний елемент кільця і позначається , і т.д.

Н

Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) і g(x) називається їх спільне кратне, на яке ділиться кожне спільне кратне цих многочленів. Позначається так: [ ].

Найбільшим спільним дільником (НСД) називається спільний дільник многочленів і , який ділиться на кожен інший спільний дільник і і позначається ( ).

Незвідним (нерозкладним, простим) називається многочлен , якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочлена виду , де - константа.

Незвідним у полі Р називається многочлен від змінних, якщо і .

Неправильним називається раціональний дріб , якщо степінь більша за степінь .

Нуль - многочленом над R називають елемент R, який вважаємо константою і многочленом, і позначаємо , тобто = 0.

О

Область цілісності – це комутативне кільце з 1 без дільників нуля ( R[x] - сукупність всіх многочленів над областю цілісності ).

Однорідним називається многочлен у якого всі члени многочлена мають однакову степінь.

П

Подібними називаються два члени многочлена, які відрізняються тільки коефіцієнтами.

Полем розкладу многочлена називається поле , де розкладається на лінійні множники.

Полем розкладу многочлена від n змінних називається поле Р, якщо розкладається в на лінійні множники.

Похідною від многочлена називається многочлен . Похідна від нуль - многочлена дорівнює нулю.

Правильним називається раціональний дріб , якщо степінь менша за степінь .

Примітивним (відносно S) називається многочлен , якщо НСД його коефіцієнтів дорівнює одиниці.

Простим алгебраїчним (трансцендентним) розширенням поля Р називається поле , утворене приєднанням до поля числа α, алгебраїчного (трансцендентного) відносно поля .

Простий многочлен див. незвідний многочлен.

Простими називаються корені кратності 1.

Р

Результантом многочленів і називається вираз виду

, де і - многочлени над полем , і - корені .

Рівними між собою називаються многочлени і ( = ), якщо їх канонічні форми збігаються : мають однакові степені і попарно рівні відповідні коефіцієнти ( алгебраїчна рівність многочленів).

Розклад многочлена ненульового степеня над полем на незвідні множники у полі - це представлення його у вигляді , де всі є незвідними многочленами у полі . Це зображення єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .

С

Симетричним відносно змінних називається многочлен , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен рівний даному.

Скінченим розширенням поля P називається поле , якщо в ньому існує така лінійно незалежна відносно поля система елементів , що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля : . Система - базис поля відносно поля .

Складений многочлен – див. незвідний многочлен.

Складним розширенням поля Р називається розширення , якщо існує такий ланцюжок розширень , що , причому кожне α_i є алгебраїчним числом над полем (при ).

Спільним кратним многочленів f(x) і g(x) Р[x] називають будь-який многочлен Р[x] такий, що .

Спільним дільником f(x) i g(x) називається многочлен , який є дільником многочлена і многочлена одночасно.

Старшим членом многочлена є відмінний від нуля член многочлена, степінь якого більший за степінь усіх інших, відмінних від нуля членів цього многочлена. його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом многочлена, а його степінь – степенем многочлена.

Степенем члена многочлена від n змінних називається сума . Число називається степенем даного члена відносно . Найбільший із степенів членів називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – старшим членом многочлена.

Сумою многочленів

називають многочлен

Т

Трансцендентним відносно поля Р називається число, яке не є алгебраїчним відносно поля .

Ф

Функціональна рівність многочленів: кожен многочлен R[x] визначає відображення _f = RR таке, що _f ( ) = . Якщо область цілісності R має характеристику 0, то многочлени і R[x] рівні тоді і тільки тоді, коли рівні функції _f і _g, які вони визначають.

Ч

Членом многочлена називається кожен доданок в сумі ,

де