§ 16. Нестандартні задачі

16.1. Знайти всі значення , при яких корені многочлена задовольняють рівність

Розв’язання.

Введемо заміну

Тоді числа є коренями многочлена

За теоремою Вієта:

Справедлива тотожність:

з якої отримуємо необхідну і достатню умову для :

тобто

16.2. Знайти всі многочлени з дійсними коефіцієнтами, для яких при всіх дійсних значеннях одночасно виконуються дві нерівності:

Розв’язання.

Розглянемо многочлен Він обмежений при числом 1997, тому - лінійний многочлен, Отже, має бути звідки . Тому

16.3. Знайти ненульові многочлени такі, що .

Розв’язання.

Нехай . Припустимо,що хоча б один з відмінний від нуля. Виберемо

де . Тоді .

Прирівнюючи коефіцієнти при , отримаємо , яке протирічить умові , . Отже, . За умовою отримуємо, що . Тому

16.4. Знайти ненульові многочлени такі, що .

Розв’язання.

Позначимо Тоді маємо

а початкова тотожність записується як тобто з точністю до позначень співпадає з тотожністю з попередньої задачі. Тому

16.5. Знайти всі дійсні функції такі, що .

Розв’язання.

При буде . Підставляємо тепер : в першому випадку , в другому - . Перевіркою переконуємося, що обидві функції підходять. Отже,

16.6. Для заданих знайти всі значення, які многочлен набуває при .

Розв’язання.

Функція має на графіку одну точку мінімуму . При функція спадає, а при - зростає. Тому для множини значень даної функції на маємо: якщо , то ; якщо , то

, тобто , при , при ; якщо , то .

16.7. Представити у вигляді двох квадратів многочлен .

Розв’язання.

16.8. Розкласти на множники многочлен .

Розв’язання.

16.9. Скласти рівняння за його коренями , .

Розв’язання.

Коефіцієнт при першому степені невідомого рівний

.

Вільний член рівний .

Шукане рівняння має вигляд .

16.10. і - корені рівняння . Знайти , щоб величина була мінімальною.

Розв’язання.

.

Отриманий вираз матиме мінімальне значення при .

16.11. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Заміна

Маємо . Тому коефіцієнти рівняння .

Тоді

.

Отже .

16.12. Визначити число дійсних коренів многочлена , якщо .

Розв’язання.

Для цього треба знайти . Нехай

Отже, має дійсні корені в проміжках

§ 17. Задачі для самостійного розв’язання

1. Знайти всі дійсні розв’язки рівняння

2. Нехай і два з чотирьох коренів многочлена . Довести, що – корінь многочлена .

3. Дано має два різних кореня на проміжку . Довести, що . Знайти, хоча б одну пару і при .

4. Знайти многочлени такі, що і

5. Знайти всі при яких многочлен набувають значень, рівних квадратам простих чисел.

6. Довести, що дана система не має розв’язку у полі цілих чисел

7. Розкласти на множники многочлен .

8. Рівняння з раціональними коефіцієнтами має корінь . Знайти другий корінь рівняння.

9. Довести, що корені рівняння при - дійсні числа. З’ясувати знаки коренів.

10. Довести, що якщо , то .

11. Розв’язати рівняння .

12. Розв’язати в полі натуральних чисел .