Розділ IV. Многочлени над полем раціональних чисел та алгебраїчні числа § 12. Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Критерій незвідності Ейзенштейна.

Будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх цих коефіцієнтів.

Теорема 1. Щоб число , де ( ) = 1 було коренем рівняння з цілими коефіцієнтами необхідно, щоб було дільником вільного члена многочлена , а - дільником старшого коефіцієнта цього рівняння.

Наслідок. Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами рівний 1, то всі раціональні корені цього рівняння є цілі числа і є дільниками вільного члена.

Теорема 2 Щоб дріб , де ( ) = 1 був раціональним коренем многочлена з цілими коефіцієнтами , необхідно, щоб при довільному цілому число ділилося на , де 0.

• Ця умова використовується частіше для = 1, при цьому числа і мають бути цілими.

Наслідок. Якщо старший коефіцієнт многочлена з цілими коефіцієнтами рівний 1, то його раціональними коренями можуть бути лише такі цілі числа , для яких ділиться на ( ) при будь-якому цілому, причому ( ) 0.

Теорема 3. Для того, щоб многочлен з цілими коефіцієнтами був звідним у полі Q раціональних чисел, необхідно і достатньо, щоб він був звідний у кільці Z цілих чисел, тобто, щоб існували многочлени і ненульового степеня з цілими коефіцієнтами такі, що .

Теорема 4. У кільці многочленів над полем раціональних чисел є многочлени довільного степеня, незвідні у полі Q.

Теорема 5. Якщо многочлен з раціональними коефіцієнтами, степінь якого більший за 1, має хоч один раціональний корінь , то звідний у полі раціональних чисел.

Теорема 6. Якщо многочлен третього степеня з раціональними коефіцієнтами не має раціональних коренів, то він незвідний у полі раціональних чисел.

Теорема 7. (Критерій Ейзенштейна незвідності многочлена з цілими коефіцієнтами ):

Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти діляться на деяке просте число , причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі раціональних чисел.

Приклади розв’язування задач.

12.1. Розвзати рівняння .

Розв’язання.

Знайдемо спочатку раціональні корені рівняння (якщо вони є). Раціональними коренями тут можуть бути числа виду:

Знайдемо межі дійсних коренів даного рівняння:

.

Всі можливі корені входять в цей інтервал.

Знаходимо: .

Поставимо умову, щоб числа були цілими:

Задовольняє умову . Перевіримо за схемою Горнера чи є це коренем даного рівняння:

	2	-5	6	-2
½	2	-4	4	0

= 1/2 є коренем многочлена. Знаходимо інші корені:

Отже, корені .

12.2. Знайти раціональні корені: .

Розв’язання.

Робимо заміну:

Повертаємось до змінної . Маємо два рівняння:

(1) або

(2)

Раціональними коренями рівняння (1) можуть бути числа 1, а рівняння (2): 1, 3.Перевіркою переконаємося, що коренями є

12.3. Розкласти на незвідні у полі множники многочлен .

Розв’язання.

.

12.4. Знайти кратність коренів многочлена

Розв’язання.

Коренями можуть бути числа

Скористаємося схемою Горнера:

	1	3	-1	-7	0	4
1	1	4	3	-4	-4	0	1-корінь
1	1	5	8	4	0		Перевірка кратності кореня
1	1	6	14	18			Перевірка кратності кореня
-1	1	4	4	0			-1-корінь
-1	1	3	1				Перевірка кратності кореня
2	1	6	20				2-не є коренем
-2	1	2	0				-2-корінь
-2	1	0					Перевірка кратності кореня
-2	1						Перевірка кратності кореня

Як бачимо рівняння має три кореня: Корені 1 і -2 мають кратність 2,

а -1- це корінь кратності 1.