§ 11. Відокремлення дійсних коренів многочленів. Теорема Штурма.

1) Всі корені многочлена лежать у середині круга з центром в точці 0 і радіусом .

2) Комплексні корені з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.

Теорема 1. Всі дійсні корені рівняння містяться в інтервалі , де .

Одним з методів знаходження верхньої межі додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами є метод Ньютона.

Теорема 2. Число М є верхньою межею додатніх коренів многочлена , якщо при = М многочлен має додатнє значення, а всі його похідні – невід’ємні значення.

Якщо – верхні межі відповідно додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами , то додатні корені многочлена знаходяться у проміжку ( ), а від’ємні – у проміжку ( ).

Означення 1. Нехай - деяка впорядкована послідовність дійсних чисел. Кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки, називається кількістю змін знаків даної послідовності.

Правило Декарта:

Число додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами дорівнює числу змін знаків у послідовності його коефіцієнтів або на парне число менше.

Це правило можна застосувати і для оцінки кількості від’ємних коренів многочлена за допомогою заміни .

Щоб відокремити дійсні корені необхідно знайти інтервали, у кожному з яких лежить лише один корінь. Це можна зробити методом Штурма.

Припускаємо, що вже не має кратних коренів.

Спочатку будуємо ряд Штурма: .

Щоб знайти многочлен , застосуємо алгоритм, подібний алгоритму Евкліда:

............................................

.

Для зручності позначимо: . Тут всі остачі беруться з протилежними знаками, тобто .

Властивості ряду Штурма:

Лема 1. Ніякі дві сусідні функції ряду не мають спільних коренів;

Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду, то значення сусідніх з нею функцій ряду мають у цій точці протилежні знаки;

Лема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не зміниться;

Лема 4. Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшиться на одиницю.

Теорема Штурма.

Якщо і ( ) – довільні дійсні числа, які не є коренями , то число дійсних коренів многочлена в інтервалі ( ) дорівнює , де і є число змін знаків у ряді Штурма відповідно у точках і .

Застосування теореми Штурма:

1. для будь-якого многочлена над полем дійсних чисел можна точно визначити загальне число дійсних коренів, а також число його додатніх і від’ємних коренів;

2. можна відокремити дійсні корені;

3. можна встановити,чи всі n коренів многочлена -го степеня є різні дійсніі числа.

Введемо такі позначення: М₊-верхня межа додатніх коренів, m₊ - нижня межа додатніх коренів, m_ - нижня межа відємних коренів, M_{_} - верхня межа відємних коренів.

Приклади розв’язування задач.

11.1. Знайти верхню межу додатніх коренів многочлена методом Ньютона.

Розв’язання.

Нехай 1 є верхньою межею додатніх коренів. Перевіримо, чи це дійсно так. Ділимо ліву частину на за схемою Горнера і маємо:

	1	0	0	-8	1
1	1	1	1	-7	-6

В нижньому рядку таблиці одержали відємні числа, це означає, що число 1 не є верхньою межею додатніх коренів. Вже при М = 2 від’ємних коефіцієнтів в таблиці немає.

	1	0	0	-8	1
1 2	1 1	1 2	1 4	-7 0	-6 1

Візьмемо число М = 1,9 < 2 і отримуємо в рядку відємні числа.

	1	0	0	-8	1
1 1.9 2	1 1 1	1 1.9 2	1 3.61 4	-7 -1.141 0	-6 -1.167 1

Тому можна взяти 2 в якості верхньої межі додатніх коренів: М₊ = 2.

11.2. Знайти нижню межу додатніх коренів многочлена методом Ньютона.

Розв’язання. Для знаходження нижньої межі додатніх коренів зробимо заміну і маємо рівняння .

За схемою Горнера ділимо на М = 1.3:

	1	0	1	-3	5
1.3	1	1.3	2.69	0.5	5.6

При М = 1.3 від’ємних коефіцієнтів немає, але вже при М = 1,2 отримуємо в рядку відємні числа:

	1	0	1	-3	5
1.3 1.2	1 1	1.3 1.2	2.69 2.44	0.5 -0.56	5.6 4.32

Це значить, що за нижню межу додатніх коренів можна взяти 1.3:

11.3. Знайти межі додатніх і від’ємних коренів многочлена .

Розв’язання.

Якщо – верхні межі відповідно додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами , то додатні корені многочлена знаходяться у проміжку ( ), а від’ємні відповідно у проміжку ( ).

Знайдемо спочатку верхню межу додатніх коренів за формулою .

Тут . Отже . Але це занадто велике число. Перевіримо за теоремою Ньютона, чи не буде верхньою межею, наприклад, число 4. Для цього, користуючись схемою Горнера, знайдемо значення всіх похідних від при , причому нас цікавлять не самі значення похідних, а їх знаки:

	1	3	-3	-25	-41	-18
4	1	7	25	75	259	+

(замість остачі поставимо знак +, бо видно, що вона додатня).

Оскільки коефіцієнти за схемою Горнера будуються за допомогою тільки додаванняі множення, а вдругому рядку цієї схеми стоять лише додатні числа, то при наступних діленнях від’ємні коефіцієнти з’явитись не можуть.

А тому всі остачі, отже і похідні від будуть додатні. Число 4 теж є верхня межа додатніх коренів . Але ми шукаємо таку цілочисельну верхню межу , що вже не задовольняє умову теореми Ньютона.

Перевіримо, чи не буде верхнею межею число 2. Складемо схему Горнера для :

	1	3	-3	-25	-41	-18
2	1	5	7	-11	-63	-

Із схеми видно, що . Число 2 не є верхня межа коренів. Перевіримо ще число 3:

	1	3	-3	-25	-41	-18
3	1	6	15	20	19	+

З наведених вище міркувань робимо висновок, що число 3 задовольняє умові теореми Ньютона, а тому і є верхня межа додатніх коренів . Причому 3 є найменша з цілочисельних верхніх меж, бо 2 вже не є верхня межа.

Отже = 3.

Для знаходження нижньої межі від’ємних коренів розглянемо многочлен .

Знайдемо межу: . Але знову ж це занадто велике число. Перевіримо за теоремою Ньютона, чи не буде верхньою межею многочлена , наприклад, число 3:

	1	-3	-3	25	-41	18
3	1	0	-3	16	7	+
3	1	3	6	+	+

Знову одержали рядок із додатніх чисел. При наступних діленнях всі числа так само будуть додатні, а тому 3 є верхня межа. Перевіримо, чи не буде верхньою межею число 2:

	1	-3	-3	25	-41	18
2	1	-1	-5	15	-11	-4

Щскільки , то число 2 не є верхня межа додатніх коренів многочлена :

.

Число -3 є нижня межа від’ємних коренів многочлена .

Аналогічно знаходимо верхні межі додатніх коренів для многочленів

Це будуть відповідно , а тому нижня межа додатніх коренів многочлена буде , верхня межа від’ємних коренів буде .

Таким чином, додатні корені многочлена розташовані між числами 1 і 3, від’ємні корені – між числами -3 і .

11.4. Знайти число дійсних коренів для многочлена на проміжку [2,4].

Розв’язання.

Побудуємо ряд Штурма.

,

то в якості можна взяти .

Ділимо на :

x⁴ - 2x³ - 6x² + 4x + 4 | 2x³ - 3x² – 6x + 2

_ 2x⁴ - 4x³ - 12x² + 8x + 8 | x - 1

2x⁴ - 3x³ - 6x² + 2x

x³ - 6x² + 6x + 8

_ 2x³ - 12x² + 12x + 16

2x³ - 12x² + 12x + 16

-15x² + 6x + 18

Остача . Тому .

Далі ділимо на :

2x³ - 3x² – 6x + 2 | 5x² - 2x - 6

_ 10x³ - 15x² – 30x + 10 | 2x - 11

10x³ - 4x² – 12x

- 11x² – 18x + 10

_ - 55x² – 90x + 50

- 55x² – 90x + 50

–112x - 16

Далі ділимо на :

5x² - 2x - 6 | 7x + 1

_ 35x² - 14x - 42 | 5x - 19

35x² - 14x

-19x - 42

_ -133x -294

-133x - 19

-275 

Тоді остаточно маємо

Побудуємо таблицю

2	-	-	+	+	+	1
4	+	+	+	+	+	0

- одна зміна знаку, - змін знаку немає.

При зростанні від 2 до 4 число кількості змін знаків в ряді Штурма: , тобто на проміжку [2,4] знаходиться один дійсний корінь.

11.5. Відокремити дійсні корені многочлена

Розв’язання.

Дійсні корені лежать в інтервалі , де . В даному випадку , тому розглядаємо інтервал (-3, 3).

Побудуємо ряд Штурма.

, то в якості можна взяти .

Ділимо на :

-8x + 16x – 2 |-6x² + 4

_ -24x + 48x – 6 | 4x

-24x + 16x

32x – 6 

Далі ділимо на :

-6x² + 4 | -16x + 3

_ -48x² + 32 | 3x

-48x² + 9

23

Для маємо .

Складемо таблицю:

-3	+	-	+	-	3
-2	+	-	+	-	3
-1	-	-	+	-	2
0	-	+	+	-	2
1	+	-	-	-	1
2	-	-	-	-	0
3	-	-	-	-	0

З таблиці видно, що один корінь лежить в інтервалі (-2;-1), бо , другий корінь знаходиться в інтервалі (0;1), бо , а третій – в інтервалі (1;2), бо .