Розділ III.Многочлени над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел § 8. Многочлени над полем комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.

Нехай - деякий многочлен над полем . Якщо , то існує розширення поля , в якому міститься деякий корінь многочлена .З цього твердження випливає, що для будь-якого многочлена степеня існує таке розширення поля , що можна подати в у вигляді добутку лінійних множників.

Поле називається полем розкладу многочлена , якщо розкладається в на лінійні множники. Поле , яке є полем розкладу будь-якого многочлена , називається алгебраїчно замкненим.

Теорема 1. Многочлен непарного степеня над полем дійсних чисел має принаймні один дійсний корінь.

Теорема 2. Кожний многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.

Теорема 3. (Основна теорема теорії многочленів):

Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь.

Теорема 4. Кожний многочлен, степінь якого вища за одиницю, звідний у полі комплексних чисел.

Наслідок. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював 1.

Теорема 5. Кожний многочлен -го степеня у полі комплексних чисел єдиним чином (з точністю до порядку множників) розкладається на лінійні множники у цьому полі:

де - корені, - старший коефіцієнт .

Терема 6. Многочлен -го степеня у полі комплексних чисел має точно коренів.

Очевидно, що всі корені многочлена над полем комплексних чисел належать цьому ж полю, тобто полем розкладу будь-якого многочлена з комплексними коефіцієнтами є поле С (поле комплексних чисел ). Тому поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим і для коренів многочлена у полі С є справедливими формули Вієта: