§ 7. Дискримінант та результант двох многочленів, їх властивості і застосування до розв'язування задач.

Нехай і

- многочлени над полем , де і - корені .

Означення 1. Результантом многочленів і називається вираз виду

• Результант є симетричним многочленом від , тому результант довільних двох многочленів над полем є елементом цього поля.

Властивості результанта:

Нехай - корені многочлена . Тоді:

1) ,

2) .

Теорема 1. Для того, щоб і мали спільний корінь необхідно і достатньо, щоб їх результант дорівнював нулю.

При розвязуванні задач інколи важко знайти корені многочлена , тому результант ще можна подати у формі Сільвестра:

Теорема 2. Якщо =0, то і мають спільний корінь або обидва старші коефіцієнти дорівнюють 0.

Означення 2. Дискримінантом многочлена називається вираз виду ,

де - результант і його похідної .

• При цьому справджується рівність: ,

де корені .

Теорема 3. Многочлен має кратний корінь тоді і тільки тоді, коли його дискримінант рівний 0.

Нехай задано систему двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими, що мають коефіцієнти з поля Р:

Схема виключення невідомих з цієї системи:

1. упорядковуємо многочлени і за спадними степенями однієї із змінних, наприклад ;

2. складаємо результант , розглядаючи змінну як параметр;

3. знаходимо всі корені результанта: ;

4. підставляємо в задану систему замість змінної значення  дістаємо сукупність систем двох рівнянь з одним невідомим ;

5. розв'язуємо цю сукупність систем рівнянь і складаємо відповідні пари розв'язків.

Приклади розв’язування задач.

7.1. Обчислити результант для многочленів

Розв’язання.

І спосіб. Многочлен має коренями числа 3 і -1. Оскільки

то

ІІ спосіб. Нехай корені многочлена . Тоді

За теоремою Вієта, і . Тоді

Отже,

ІІІ спосіб. Обчислимо результант у формі Сільвестра :

7.2. При якому значенні мають спільні корені слідуючі многочлени .

Розв’язання.

Щоб многочлени мали спільні корені необхідно і достатньо, щоб їх результант був рівний нулю.

Запишемо результант у формі Сільвестра:

При многочлени і мають спільні корені.

7.3. При якому значенні має кратний корінь многочлен .

Розв’язання.

Необхідною і достатньою умовою, щоб многочлен мав кратний корінь є рівність нулю дискримінанта. Обчислимо його у формі Сільвестра:

При цей многочлен має кратні корені.

7.4.Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання.

Розглянемо ліві частини кожного рівняння як многочлени від змінної

Розвязати систему рівнянь означає знайти спільні корені многочленів . Тому записуємо умову, при якій многочлени мають спільний корінь:

Підставляємо значення і у систему і одержуємо сукупність двох рівнянь з одним невідомим :

Розв’язуємо цю сукупність рівнянь і складаємо пари розв’язків: