Міністерство освіти України

Черкаський національний університет

ім. Богдана Хмельницького

Ілляшенко Н.Г.

Теорія многочленів

Частина I

Черкаси 2004р.

Міністерство освіти України

Черкаський національний університет

ім. Богдана Хмельницького

Ілляшенко Н.Г.

Гордієнко Н.М.

Теорія многочленів

Частина I

Навчально – методичний посібник для організації самостійної роботи студентів

Черкаси 2004р.

Посібник містить теоретичні відомості курсу теорії многочленів. Кожен розділ посібника супроводжується набором прикладів розв’язування типових задач.

Посібник призначений для організації самостійної роботи студентів стаціонарної та заочної форм навчання.

Рецензент: Кляцька Л. М. – кандидат фіз.-мат. наук,доцент кафедри алгебри, геометрії та МВМ ЧНУ ім. Б. Хмельницького.

Розділ I. Многочлени від однієї змінної § 1. Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею.

Означення 1. Многочленом (поліномом) від однієї змінної над областю цілісності R називається вираз виду:

, де

- довільне ціле невід’ємне число,

– елементи R,

– деякі символи;

- k-ий степінь змінної ,

- k-ий коефіцієнт многочлена або коефіцієнт при (k= ).

Приклад:

Означення 2. Область цілісності – це комутативне кільце з 1 без дільників нуля ( R[x] - сукупність всіх многочленів над областю цілісності ).

Означення 3. Вираз (k = ) називається k-тим членом або членом k-го степеня многочлена , - нульовим або вільним членом.

Якщо (тобто є нульовим елементом області цілісності R), то кажуть, що k-тий член многочлена дорівнює нулю або його немає.

Означення 4. Відмінний від нуля член многочлена , степінь якого більший за степінь усіх інших, відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена.

З попереднього прикладу:

5 – старший член, 5 – старший коефіцієнт,

4 – степінь многочлена.

Степінь позначають deg f.

Означення 5. Елемент 0 R вважаємо константою і многочленом над R. Його називають нуль-многочленом, і позначають , тобто .

Означення 6. Канонічною формою многочлена називається такий запис, коли члени многочлена упорядковано за спаданням степеня .

Приклад: - канонічна форма, а

- не канонічна форма запису многочлена.

Означення 7. Сумою многочленів

називають многочлен

,

Наслідок 1. Степінь суми двох многочленів не перевищує більшого з степенів даних многочленів:

deg ( + ) ≤ max (deg , deg ).

Наслідок 2. Для довільного многочлена

Означення 8. Добутком многочленів

називається многочлен , де , , тобто .

Наслідок 3. Якщо і не є нуль-многочленом, то

deg ( ) = deg + deg .

Наслідок 4. Якщо = , то = .

Означення 9. Якщо многочлен R[x], має канонічну форму, i , то елемент з кільця R називається значенням многочлена при і позначається .

Якщо , то число називається коренем многочлена .

Означення 10. Многочлени і називаються рівними між собою = , якщо їх канонічні форми збігаються: мають однакові степені і попарно рівні відповідні коефіцієнти (алгебраїчна рівність многочленів).

Означення 11. Кожен многочлен R[x] визначає відображення _f = RR таке, що _f ( ) = .

Якщо область цілісності R має характеристику 0, то многочлени і R[x] рівні тоді і тільки тоді, коли рівні функції _f і _g, які вони визначають (функціональна рівність многочленів).

Алгебраїчне і функціональне тлумачення многочленів рівносильні над областю цілісності характеристики 0.

Якщо многочлени рівні алгебраїчно, то очевидно вони рівні і функціонально. Обернене твердження не виконується.

Означення 12. Нехай Р- деяке поле. Многочлен P[x] ділиться націло на P[x] ( записується ), якщо існує многочлен P [x] такий, що = .