Функция распределения, свойства функции распределения, график функции распределения.
Функция распределения – это функция F(х), которая определяет вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х: F(x) = P(X < x).
График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой от 0 до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).
Рассмотрим свойства функции распределения:
Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат
отрезку [0, 1] По 1 свойству: график находится в полосе, которая ограничена прямыми у = 0, у = 1.
Свойство 2. F(х) — неубывающая функция: F(x2)≥F(x1), если х2 > x1.
По 2 свойству: при возрастании х в интервале (а, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «поднимается вверх».
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F (x) = 0 при х ≤ а; 2) F (x) = 1 при х ≥ b.
По 3 свойству: при x ≤ a ординаты графика равны нулю; при x ≥ b ординаты графика равны единице.
Определение плотности распределения.
Функция f(x) = F/(x) называется плотностью вероятности и является производной от функции распределения. Поэтому ее еще называют дифференциальной функцией, а функцию распределения называют интегральной функцией. Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения нельзя применять.
Кривая, изображающая плотность распределения, называется кривой распределения. Если известна плотность распределения, то можно подсчитать вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, которое принадлежит заданному интервалу.
Свойства плотности распределения.
Свойство 1. Плотность распределения является неотрицательной функцией: f(x) ≥ 0.
Доказательство. Так как функция распределения есть неубывающая функция, значит, ее производная F'(х) = f(х) есть функция положительная. Точки, которые принадлежат графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси.
Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице: ∫f(x)dx=1
Доказательство. Несобственный интеграл показывает вероятность события, заключающегося в том, что случайная величина будет иметь значение, которое принадлежит интервалу (-∞,∞). Соответственно, такое событие является достоверным, а значит, вероятность его равна единице. Из геометрических соображений можно сказать, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.
Кто является основателями статистики как науки?
Термин статистика произошел от латинского слова status, что означает политическое состояние государства. В науку данное определение было введено немецким ученым Готфридом Ахенваллем (немецкий ученый, один из основоположников статистики), который предложил заменить название курса «Государствоведение» на «Статистику», в 1746 году он ввел в науку этот теперь широко употребляемый термин. У истоков статистической науки стояли две школы– это немецкая описательная и английская школа политических арифметиков, которая и была источником возникновения статистики как науки и определила статистику как количественное описание происходящих в обществе социальных явлений и процессов с использованием меры, веса и числа.