7. Автокорреляция: первого, второго порядка

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов. Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними. Количественно ее можно найти с помощью коэффициента корреляции между уровнями начального временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов по времени.

По коэффициенту автокорреляции судят о наличии линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (степенную функцию или экспоненту), коэффициент автокорреляции может быть меньше 0,7. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать судить о возрастающем или убывающем направлении связи в ряду.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и других порядков называется автокорреляционной функцией временного ряда. График значений коэффициентов автокорреляции разных порядков называют коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет найти лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями временного ряда наиболее тесная.

Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, временной ряд содержит только тенденцию (тренд). Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции порядка n, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в n моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым (близок к 0), можно сказать, что либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит нелинейную тенденцию, для выявления которой проводят дополнительный анализ.

[5]

8. Критерий Дарбина – Уотсона для выявления автокорреляции

Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина-Уотсона и расчет величины Величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев. Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как 

  где  (2.3.2) Между критерием Дарбина–Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:   Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и  = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то  = – 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то   = 0 и d = 2. Следовательно, 0 <d <4.  Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы   и   состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по таблице (приложение А) определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона   и   для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости a. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков.         Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина–Уотсона. Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина – Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы. В-третьих, критерий Дарбина–Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.</d.

[4]

Заключение

Динамический ряд включает значения показателя за последовательные периоды или моменты времени. Каждое значение показателя называется уровнем ряда. Динамика показателя может включать тенденцию и колебания

(отклонения от тенденции). Колебания могут быть регулярными (циклическими), в том числе сезонными, и нерегулярными (случайными). Тенденция динамики связана с действием долговременных причин и условий развития. Колебания связаны с действиями краткосрочных или циклических

факторов. Тенденция и колебания хорошо видны на графике.

Изменения уровней временного ряда характеризуют абсолютные и относительные показатели динамики: абсолютный прирост (цепной и базисный), ускорение абсолютного изменения, темп роста (цепной и базисный), темп роста, абсолютное значение одного процента прироста.

Средний уровень динамического ряда рассчитывается по формуле средней арифметической простой (для интервального ряда) либо взвешенной (для моментного ряда) и используется для обобщенной характеристики периода развития, для сравнения средних достижений в разные периоды. Средний

темп динамики рассчитывается по формуле средней геометрической. Средний абсолютный прирост определяется по формуле средней арифметической. При параболической тенденции среднегодовые темпы легко получить, пользуясь таблицей, составленной Л. С. Казинцом

При анализе динамики важно оценивать продолжительность срока, за который один объект («отстающий») может догнать другой объект («передовой»). Для выявления тренда нужно решить: были ли условия развития достаточно однородными, каков характер действия основных факторов развития? Среди основных форм тренда выделяются: линейный,

параболический, экспоненциальный, логарифмический, тренд в форме степенной функции, гиперболы, логистической форме. Для выявления тенденции и устранения колебаний можно воспользоваться методом скользящей средней. Параметры уравнения тренда находятся МНК. При этом может быть использован метод условного нуля, т.е. центральный член ряда принимается за точку отсчета. Уравнение тренда у = а + bt, полученное при этом, будет отличаться от уравнения тренда, полученного при значениях t — 1,2, ..., п, только свободным членом а, а значения параметра Ъ будут одинаковы в обоих уравнениях.

При вычислении параметров тренда уровни исходного ряда входят с разными весами — значениями t. Поэтому влияние колебаний уровней на параметры тренда зависит от того, на какой год приходится либо высокое, либо низкое значе ние. Для более полного исключения влияния колебаний на

параметры тренда следует применять метод многократного скользящего выравнивания. Установить тип колеблемости (пилообразная, или маятниковая, долгопериодическая циклическая, случайно распределенная по времени) можно с помощью критерия поворотных точек Кендэла. Интенсивность колеблемости измеряют с помощью следующих показателей: среднего линейного отклонения от тренда, среднего квадратического отклонения от тренда, коэффициента колеблемости. Анализ типа колеблемости и определение длины цикла могут быть основаны на расчете коэффициентов автокоррекции отклонений от тренда. Оценку степени устойчивости реализации тренда можно провести с помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена. Устойчивость тренда может быть измерена

соотношением между среднегодовым абсолютным изменением и

среднеквадратическим отклонением уровней от тренда.

Анализ сезонности проводится на основе анализа дисперсии уровней временного ряда. Выделяется дисперсия за счет тренда, за счет сезонных колебаний, за счет случайных колебаний (остаточная). Графически сезонность изображается либо в виде сезонной волны, либо в виде радиальной диаграммы. При высокой надежности уравнения тренда оно может использоваться для прогнозирования уровней временного ряда

(с учетом сезонной компоненты). Следует иметь в виду, что средняя ошибка прогноза всегда превышает показатель колеблемости уровней.

При изучении взаимосвязи между динамикой разных показателей следует опасаться неверных умозаключений, вызываемых ложной корреляцией, поскольку все показатели изменяются с изменением времени t, которое может рассматриваться в качестве общей причины для всех временных рядов. Для того чтобы устранить ложную корреляцию, рассчитывают коэффициент корреляции не между уровнями временных рядов, а между отклонениями от тренда или первыми разностями при наличии линейных трендов.

Уравнение регрессии, описывающее зависимость динамики одного показателя от другого, строится либо по отклонениям от тренда, либо по первым разностям (в случае линейных трендов), либо по уровням временных рядов при включении переменной «время», t, в уравнение в качестве объясняющей переменной.[1]

В данной работе были рассмотрены ряды динамики и их характеристика, а также различные показатели, которые могут быть рассчитаны на их основе.

Список литературы

1.Елисеева И.И.,Юзбашев М.М. «Общая теория статистики»: Учебник. 5-е изд., перераб. и доп Издательство: Москва "Финансы и статистика". Год: 2004

2.http://www.aup.ru/books/m81/6.htm

3. http://www.be5.biz/ekonomika/e011u/70.htm

4. http://univer-nn.ru/statistics/pokazateli-dinamiki.php

5.http://ilab.xmedtest.net/?q=node/3443

6.http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

7. http://referent.mubint.ru/security/8/1451/1

Приложения

Таблица 1.1

Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл.

Дата	10.01.94	11.01.94	12.01.94	13.01.94
Объем продаж	126,750	124,300	148,800	141,400

Таблица 1.2

Индекс инфляции в 1993 г. (на конец периода, в % к декабрю 1992 г.)

Период	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Индекс инфляции	126	162	190	221	264	310

Таблица 1.3

Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год

Продукты	1980	1985	1990	1991	1992	1993
Мясо и мясопродукты	80,0	78,4	74,1	68,3	58,7	63,2
Молоко и молочные продукты	411,2	389,6	378,9	345,4	280,4	285,6
Хлебные продукты	101,2	91,6	85,7	91,8	98,0	105,81