Корректирующие коды, обнаруживающие ошибки.

Лабораторная работа №1.

Код с проверкой на четность.

Код является простейшим разделимым систематическим циклическим линейным кодом длины n, с k = n – 1 информационными и r = 1 проверочным символами. Обозначается как (n,n–1)-код. Его комбинации обладают свойством цикличности, поэтому код является циклическим.

Процедура построения: строится первичный (обычный двоичный) код длины k, затем с правой стороны приписывается один проверочный символ. Значение проверочного символа выводится из условия: общее число единиц в коде четное.

Код имеет d = 2 и применяется для обнаружения ошибки.

Корректирующая способность кода: код обнаруживает ошибки любой нечетной кратности в пределах n.

Процедура обнаружения состоит в проверке на четность всей принятой комбинации V_i^*=(a₁^*a₂^*……a_k^*b₁^*) Результат этой проверки характеризуется одним символом синдрома S. S = S₁

,

Относительная скорость передачи q = k / n.

Избыточность кода И = 1 / k.

Вероятность появления ошибочной комбинации на выходе устройства обнаружения ошибок при одноразовой передаче комбинации по двоичному симметричному каналу (ДСК) определяется вероятностью необнаружения ошибок P_н и равна вероятности появления ошибок нечетной кратности, и определяется по формуле:

,

где р – вероятность искажения одного символа, q=1– p вероятность правильного приема одного символа.

1.1 Нахождение корректирующих кодов.

Комбинация	Первичный код а1 а2 а3	Корректирующий код а1 а2 а3 b1
V0	0 0 0	0 0 0 0
V1	0 0 1	0 0 1 1
V2	0 1 0	0 1 0 1
V3	0 1 1	0 1 1 0
V4	1 0 0	1 0 0 1
V5	1 0 1	1 0 1 0
V6	1 1 0	1 1 0 0
V7	1 1 1	1 1 1 1

1.2 Нахождение хэмминговых и кодовых расстояний.

Хэмминговы расстояния находятся для двух кодовых комбинаций.

Для кодов, число комбинаций которых N = 8, (Для первых четырех кодов).

Минимальное хэммингово расстояние кода, кодовое расстояние.

Хэмминговым расстоянием между двумя кодовыми комбинациями называют число разрядов, в которых эти комбинации имеют разные символы в соответствующих одноименных разрядах.

Хэммингово расстояние между двумя кодовыми комбинациями удобно находить, используя операцию сложения по mod2, так как результат сложения по mod2 только тогда равен 1, когда складываемые символы различаются. Учитывая это, можно определить расстояние между любыми двумя комбинациями n-разрядного кода.

Например, суммой по mod2 комбинаций V₁ = 1110 и V₂ = 0100 является комбинация V_ = 1010,а вес этой комбинации равен 2.

Это следующие пары :

V₀V₁

V₀V₂ V₁V₂

V₀V₃ V₁V₃ V₂V₃

V₀V₄ V₁V₄ V₂V₄ V₃V₄

V₀V₅ V₁V₅ V₂V₅ V₃V₅ V₄V₅

V₀V₆ V₁V₆ V₂V₆ V₃V₆ V₄V₆ V₅V₆

V₀V₇ V₁V₇ V₃V₇ V₃V₇ V₄V₇ V₅V₇ V₆V₇

Комбинации			Хэммингово расстояние dij
Vi	Vj	Vij
0000	0011	0011	2
0000	0101	0101	2
0000	0110	0110	2
0000	1001	1001	2
0000	1010	1010	2
0000	1100	1101	2
0000	1111	1110	3
0011	0101	0110	2
0011	0110	0101	2
0011	1001	1010	2
0011	1010	1001	2
0011	1100	1111	4
0011	1111	1100	2
0101	0110	0011	2
0101	1001	1100	2
0101	1010	1111	4
0101	1100	1001	2
0101	1111	1010	2
0110	1001	1111	4
0110	1010	1100	2
0110	1100	1010	2
0110	1111	1001	2
1001	1010	0011	2
1001	1100	0101	2
1001	1111	0110	2
1010	1100	0110	2
1010	1111	0101	2
1100	1111	0011	2

Для нахождения кодового расстояния необходимо найти минимальное хэмминговое расстояние из всех хэмминговых расстояний.

Кодовое расстояние d = 2