§ 2.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величи­ны неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения:

X	x1	x2	…	xn
p	р1	р2	…	pn

О п р е д е л е н и е. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

(2.1)

М(Х) = x₁p₁ + х₂р₂ + ... + х_nр_n

П р и м е р. Найдем математическое ожидание выигрыша X в примере из § 2.1 (п. 2).

Используя полученную там таблицу, имеем

М(Х) = 0 • 0,9889 + 1 • 0,01 + 100 • 0,001 + 1000 • 0,0001 = 0,21 (руб.).

Очевидно, М(Х) = 21 коп. есть справедливая стоимость одного лотерейного билета.

Т е о р е м а. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что произведено п испытаний, в которых дискретная случайная величина X приняла значе­ния x₁, ..., х_k соответственно т₁, ..., т_k раз, так что т₁ + ... + т_k = п. Тогда среднее арифметическое всех значений, принятых величи­ной X, выразится равенством

xср =	x1m1 + x2m2 + ... + xkmk
	n

или

xср = x1	m1	+ x2	m2	+ ... + xk	mk
	n		n		n

Так как коэффициент т_i/п является относительной частотой события «величина Х приняла значение х_i» (i=1, 2, ..., k), то

x_ср = x₁p₁* + x₂p₂* +... + x_kp_k*.

Из статистического определения вероятности следует, что при достаточно большом числе испытаний p_i* p_i (i = 1, 2, ..., k). Поэтому

x_ср x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_kp_k,

или

x_ср М(Х).

Таким образом, математическое ожидание случайной величины можно приближенно считать ее средним значением, что и делают на практике.

Обратимся теперь к механической интерпретации математического ожидания дискретной случайной величины X. Пусть на оси абсцисс расположены точки с абсциссами х₁, х₂, ..., х_n, в которых сосредоточены соответственно массы р₁, р₂, .., p_n, причем р₁ + р₂ + ...+ p_n = 1. Тогда математическое ожидание М(Х), определяемое формулой (2.1), есть ни что иное, как абсцисса центра масс данной системы материальных точек.