1) Если X и y — независимые случайные величины, то коэффи­циент корреляции равен нулю.

Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. (Доказательство см. в работе [2].)

2)Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосхо­дит единицы:

Действительно, разделив обе части неравенства (3.16) на произ­ведение , приходим к искомому неравенству.

3) Как видно из формулы (3.15) с учетом формулы (3.14), ко­эффициент корреляции характеризует относительную величину отклонения математического ожидания произведения от про­изведения математических ожиданий М(Х) М(Y) величин X и Y. Так как это отклонение имеет место только для зависимых вели­чин, то можно сказать, что коэффициент корреляции характеризует тесноту зависимости между X и Y.

3. Линейная корреляция. Этот вид корреляционной зависимости встречается довольно часто.

О п р е д е л е н и е. Корреляционная зависимость между случай­ными величинами Х и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии и являются линейными. В этом случае обе линии регрессии являются прямыми; их называют прямыми регрессии.

Выведем уравнения прямой регрессии Y на X, т.е. найдем коэф­фициент линейной функции

Обозначим М(Х) = а, М(Y) = b, М[(Х - а)²] = , М[(Y –b²)] = . С использованием свойств МО (§§ 2.2; 2.6) находим:

М(Y) = М[g(Х)] = М(АХ + В)= АМ(Х) + В,

т.е. b = Аа + В, откуда В=b-Аа.

Далее, с помощью тех же свойств математического ожидания имеем

М(ХY) = М[Хg(Х)\ = М(АХ² + ВХ) = АМ(Х²) + ВМ(Х) = АМ(Х²) + (b- Аа)а,

откуда

А=

или, согласно свойству 1 дисперсии (§§ 2.3; 2.6),

Полученный коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на X и обозначается через :

(3.17)

Таким образом, уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

(3.18)

Аналогично можно получить уравнение прямой регрессии X на Y

(3.19)

где

(3.20)

есть коэффициент регрессии X на Y.

Уравнения прямых регрессии можно записать в более симмет­ричном виде, если воспользоваться коэффициентом корреляции. С учетом этого коэффициента имеем:

(3.21)

и поэтому уравнения прямых регрессии принимают вид:

Из уравнений прямых регрессии видно, что обе эти прямые проходят через точку (а;b); угловые коэффициенты прямых рег­рессии равны соответственно (рис. 13):

рис. 13

Так как то Это означает, что прямая рег­рессии Y на X имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем прямая регрессии X на Y Чем ближе к единице, тем меньше угол между прямыми регрессии. Эти прямые сливаются тогда и только тогда, когда =1.

При = 0 прямые регрессии описываются уравнениями у=b; х = а.

Рис. 13

В этом случае М_Х(Y) = b = М(Y); М_У(Х) = а = М(Х).

Из формулы (3.21) видно, что коэффициенты регрессии имеют тот же знак, что и коэффициент корреляции , и связаны соот­ношением

4. Нормальное распределение двумерной случайной величины.

О п р е д е л е н и е. Распределение двумерной случайной величи­ны (X, У) называется нормальным, если ее плотность вероятности определяется выражение:

Нормальное распределение зависит от пяти параметров а₁, а₂, σ_х, σ_у и . Можно доказать, что а₁ и а₂ — математические ожида­ния случайных величин X и Y, и — их средние квадратические отклонения и – коэффициент корреляции этих величин.

Покажем, что если составляющие двумерной нормально рас­пределенной случайной величины некоррелированы, то они и не­зависимы. Действительно, если X и Y некоррелированы, то =0 и, следовательно,

отсюда и следует независимость составляющих X и Y (см. § 3.6, следствие).

Справедливо и обратное утверждение.

Таким образом, понятия «некоррелированные величины» и «независимые величины» для случая нормального распределения равносильны.

З а м е ч а н и е. Опираясь на выражения (3.8) и (3.8'), можно доказать, что если двумерная случайная величина распределена нор­мально с параметрами а₁ а₂, и то ее составляющие также распределены нормально с параметрами, соответственно равными а₁, и а₂, .