Глава 11

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 2.1. Дискретные случайные величины

1. Понятие ”случайные величины”.

О п р е дел е н и е 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества всезможных значений.

П р и м е р ы. 1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) прирост массы домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может иметь значение из некоторого число- вого промежутка;

3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5;

4) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой принадлежат некоторому промежутку.

Случайные величины обычно обозначают прописными буквами Х, У, 2 а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у, . Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

х1, х2, х3.

О п р е д е л е н и е 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Рассмотрим дискретные случайные величины, множество допустимых значений которых конечно случайные величины из примеров 1) и 3) дискретные.

О п р е д е л е н и е 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Случайные величины из примеров 2) и 4) являются непрерывными.

О п р е д е л е н и е 4. Под суммой (произведением) случайных величин Х и У понимают случайную величину 7=Х+ У (7= ХУ), возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины X и каждого возможного значения величины Y.

2. Законы распределения дискретных случайных величин. Рассмот­рим дискретную случайную величину X с конечным множеством возможных значений. Величина X считается заданной, если пере­числены все ее возможные значения, а также вероятности, с кото­рыми величина X может принимать эти значения. Указанный пе­речень всех ее возможных значений и их вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распре­деления дискретной случайной величины может быть задан с по­мощью таблицы:

X	х1	х2	х3	…	хn - 1	хn
p	р1	р2	р3	…	pn - 1	pn

В верхней строке выписываются все возможные значения х₁, х₂, ..., х_n величины X, в нижней строке выписываются вероятности р₁, р₂, ..., p_n значений х₁, х₂, ..., х_n. Читается таблица следующим образом: случайная величина X может принимать значения х_i с вероятностями р_i (i = 1, 2, ..., n).

Так как события X = х_i (i = 1, 2, ..., n) образуют полную группу несовместимых событий, то

р₁ + р₂ + ... + p_n = 1

П р и м е р. В денежной лотерее раньше разыгрывались: 1 выиг­рыш в 1000 р., 10 выигрышей по 100 р. и 100 выигрышей по 1 р. при общем числе билетов 10 000. Найдем закон распределения слу­чайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Здесь возможные значения для X есть: x₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 100, х₄ = 1000. Вероятности их будут: p₂ = 0,01, р₃ = 0,001, р₄ = 0,0001, p₁= 1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 = 0,9889. Следовательно, закон распреде­ления выигрыша X может быть задан таблицей:

X	0	1	100	1000
p	0,9889	0,01	0,001	0,0001

В заключение отметим так называемую «механическую» интер­претацию представленной таблицы. Представим себе, что некото­рая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в п отдельных точках х₁, х₂, ..., х_n сосредоточены соответственно массы р₁, р₂, ..., p_n. Тогда эта таблица описывает систему материаль­ных точек, размещенных на оси абсцисс.