4. Формула полной вероятности.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В₁ В₂, ..., В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁)Р_B1(А)+ Р(В₂)Р_B2(А)+...+Р(Вn)Р_Bn(А) (1.14)

(формула полной вероятности)

События В₁ В₂, ..., В_n будем называть гипотезами.

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий В₁ В₂, ..., В_n, т. е. А = В₁ А + + B₂+ ... + В_n А, причем ввиду несовместимости событий В₁ В₂, ... В_n события В₁А, В₂А, ..., В_n А также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Р(А)+Р(В₁ А)+Р(В₂ А)+…+Р(В_n А)=Р(В₁)Р_B1(А)+Р(В₂)P_B2(A)+…+Р(В_n)Р_Bn(А)

П р и м е р 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим В₁ — выбор первого ящика, В₂ — выбор второго ящика,B₃— выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Р(В₁)=Р(В₂)=Р(В₃)=1/3. Если выбран первый ящик, то Р_В1(А)=2/3. Аналогично Р_В2(А)=3/4 Р_В2(А)=3/4 Р_В3(А)=1/3

Наконец, по формуле (1.14) получаем

Р(А)=1/3*2/3+1/3*3/4+1/3*1/2=23/36.

Пример 2. В санатории 30% пациентов — мужчины (М) и 70%— женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугал выбранный пациент сердечник?

Обозначив С — начилие заболевания сердца, запишем:

Р(М) = 0,3, Р(Ж) = 0,7, Рм(С) = 2/3, Рж(С) =1/3

Подставлям эти числа в формулу полной вероятности (1.14), получим

Р(С) = 0,3*2/3 + 0,7 *1/3 = 0,23+0,2 = 0,43..

Задача (смог над городом). На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году — с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе —

последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов? Иными словами, какова вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом?

Обозначив С — ветер с севера, З — ветер с запада и В — воздействие вредных выбросов на город, можем записать:

Р(С)=100/365=20/73=0,27; Р(З)=200/365=40/73=0,55;

Р_С(В)=1/3=0,33; Р_З(В)=1/7=0,14.

Отсюда по формуле погной вероятности

Р(В)=Р(С)Р_с(В)+Р(З)Р_З(В)=20/73*1/3+40/73*1/7=0,09+0,08=0,17

Таким образом, около двух месяцев в году город накрыт смогом.

5. Формулы Байеса. Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т. е. величины Р(В_k),k = 1, 2, ..., n?

Найдем условную вероятность P_A (В_k) По формуле (1.8) (см. п. 2)

имеем

Р(АВ_K) = Р(А)Р_A(В_K) = Р(В_K)Р_BK(А).

Отсюда,

Р_А(В_к)= Р(В_к) Р_Вк(А)/Р(А)

Наконец, используя формулу полной вероятности ,находим:

Р_А(В_к)= Р(В_к) Р_Вк(А)/ Р_Вк(А)/ , к=1,2,…n. (1.15)

Выражения (1.15) называют формулами Байеса*.

П р и м е р. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй — 35%, третий — 40%. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, в продукции второго — 4% и в продукции третьего — 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим?

Введем обозначения для событий: А — выбранная для контроля деталь оказалась бракованной; В₁, В₂, В₃ — эта деталь изготовлена соответственно первым, вторым и третьим рабочим. Имеем:

Р(В₁)=0,25; Р(В₂)=0,35; Р(В₃)=0,40;

Р_В1(А)=0,05; Р_В2(А)=0,04; Р_В3(А)=0,02.

По формуле Байеса находим

Р_А(В₂)=0,35*0,04/0.25*0.05+0.35*0.04+0.40*0,02=0,4

Как здесь, так и в ряде других примеров для облегчения вычислений можно использовать калькулятор.