4. Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностей.

Комбинаторика — раздел математики, занимающийся вопросами о том, сколько комбинаций определенного типа можно получить из данных предметов (элементов).

Как при решении задач с использованием классического опре­деления вероятности, так и в дальнейшем могут нам понадобиться некоторые определения и формулы комбинаторики. Приведем наи­более употребительные из них.

Определение 1. Размещениями из л различных элементов по т элементов (т ) называются комбинации, составленные из данных л элементов по т элементов, которые отличаются либо са­мими элементами, либо порядком элементов.

Например, из трех элементов а, Ь, с можно составить по два элемента следующие размещения:

ab, ас, be, bа, са, cb.

Число А размещений из n элементов а_1, а_2, ..., а по т равно (1.1)

Пусть — всевозможные разме­щения, содержащие т элементов. Будем эти размещения строить последовательно. Сначала определим — первый элемент разме­щения. Очевидно,.из данной совокупности п элементов его можно выбрать л различными способами. После выбора первого элемен­та для второго элемента а_а остается n - 1 способов выбора и т. д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому общее число размещений равно указанному произведению (1.1).

Пример 1. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Искомое число сигналов А - 6 • 5 = 30.

Определение 2. Перестановками из л различных элементов называются размещения из этих л элементов по n.

Перестановки можно рассматривать как частный случай разме­щений при т = п, поэтому общее число перестановок из n элементов равно

Р =n(n-1)(n-2)…3 2 1=n! (1.2)

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Искомое количество трехзначных чисел Р₃ = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Определение 3. Сочетаниями из n различных элементов по т элементов называются комбинации, составленные из данных п элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в пер­вых не учитывается порядок элементов.

Обозначим через С число сочетаний из n элементов по т.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов а_а]а_а2...а_а . Делая в каждом из них m! возможных перестановок их элементов, очевидно, получим общее число рамещений из п элементов по т. Таким образом, С ; отсюда

(1.3)

Формулу (3) можно представить также в виде

C обладает очевидной собенностью

которая также верна и при т = 0, если принять С = 1.

Этой особенностью удобно пользоваться, когда т > .

Числа С являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона

и поэтому часто называются биномиальными коэффициентами.

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Искомое число способов

При решении задач комбинаторики можно использовать следу­ющие правила:

Правило суммы. Если некоторый элемент А может быть выбран из совокупности элементов т способами, а другой элемент В — п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Правило произведения. Если элемент А можно выбрать из совокупности элементов т способами и после каждого такого выбо­ра элемент В можно выбрать п способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами.

Эти правила справедливы и для любого конечного числа элементов.

Приведем, наконец, примеры применения формул комбинато­рики к нахождению вероятностей событий.

Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две по­следние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Две последние цифры можно набрать способами, а благо­приятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет толь­ко один способ. Поэтому

Р(М) =

Пример 5. Партия из 10 деталей содержит одну нестандарт­ную. Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными (событие А)?

Здесь число всех случайных выборок , а число выборок, благоприятствующих событию А, есть т = С . Таким образом, искомая вероятность

Пример 6 (Задача о Генуэзской лотерее*). Разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ста­вить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров. Если участник лотери ставил на один номер, то он получал при выиграше в 15 раз больше ставки; если на два номера (амбо), то в 270 раз больше; если на три номера (терн), то в 5500 раз больше; если на четыре номера (катерн) — в 75 000 раз больше; если на пять номеров (квин) — в 1 000 000 раз больше, чем ставка. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев?

В первом случае вероятность выигрыша оказывалась

во втором, третьем, четвертом и пятом случаях вероятности выиг­рыша были соответственно равны: