§ 3.6. Независимость случайных величин

Т е о р е м а. Для того чтобы случайные величины X и Y были не­зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функции ее составляющих:

F(x,y)=F₁(x)F₂(y).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть X и Y независимы. Тогда события Х<х и Y<y независимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей.

Р(Х<х, Y<y)=P(X<x)P(Y<y),

или

F(x,y)=F₁(x)F₂(y).

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть F(x,y)=F₁(x)F₂(y). Отсюда следует, что вероятность совмещения событий Х<х и Y<y равна произве­дению вероятностей этих событий. Следовательно, величины X и Y независимы.

С л е д с т в и е. Для того чтобы непрерывные случайные величи­ны X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плот­ность вероятности системы (X,Y) была равна произведению плотно­стей вероятности составляющих X и Y:

f(x,y)=f₁(x)f₂(y).

П р и м е р. Двумерная непрерывная случайная величина (X, Y) задана плотностью вероятностей

Докажите, что составляющие X и Y независимы.

Р е ш е н и е. Согласно формуле (3.8)

Аналогично согласно формуле (3.8')

и, значит,

f(x,y)=f₁(x)f₂(y),

т. е. случайные величины X и Y независимы.

§ 3.7. Элементы теории корреляции

1. Корреляционная зависимость. Часто приходится иметь дело с более сложной зависимостью, чем функциональная. Такова, напри­мер, связь между осадками и урожаем или связь между толщиной снегового покрова зимой и объемом стока последующего половодья. Здесь каждому значению одной величины соответствует множество возможных значений другой величины. Подобного рода зависимо­сти относятся к корреляционным зависимостям.

О п р е д е л е н и е 1. Две случайные величины X и Y находятся в корреляционной зависимости, если каждому значению любой из этих величин соответствует определенное распределение вероятно­стей другой величины.

О п р е д е л е н и е 2. Условным математическим ожиданием дис­кретной случайной величины X при Y=y (y – определенное воз­можное значение Y) называется сумма произведений возможных значений величины X на их условные вероятности:

где р(х_i|у) – условная вероятность равенства Х-х_i при условии, что Y=y.

Для непрерывных величин

где (х|у) – плотность вероятности случайной непрерывной вели­чины X при условии Y=y.

Условное математическое ожидание М_У(Х) есть функция от у: M_y(X)=f(y), которую называют функцией регрессии величины X на величину Y.

Аналогично определяются условное математическое ожидание случайной величины Y и функция регрессии Y на X:

Уравнение x=f(y) (y=g(x)) называется уравнением регрессии X на Y (Y на X), а линия на плоскости, соответствующая этому урав­нению, называется линией регрессии.

Линия регрессии Y на X (X на Y) показывает, как в среднем за­висит Y от X (X от У).

П р и м е р 1. Пусть Х и Y независимы; М(Х)=а, М(Y)=b. Тогда g(x)=М_х(Y)=M(Y)=b; f(y)=М_y(Х)=М(Х)=а. Линии регрессии изо­бражены на рис. 12.

Рис. 12

П р и м е р 2. Х и Y связаны линейной зависимостью: Y=AX+B, А≠0. Тогда функция регрессии Y на X будет иметь вид

g(x)=M_x(Y)=М(Ах+В)=Ах+В.

Так как , то функция регрессии X на Y имеет вид

Значит, линия регрессии X на Y: х= (у-В)/А, т.е. у=Ах+В. Таким образом, в случае линейной зависимости X и Y линии регрессии X на Y и Y на X совпадают, и эта линия прямая.